Équations différentielles du premier ordre de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• y'(t) = f(y) est une équation différentielle du premier ordre, et y' a une unité de grandeur par unité de temps. • La forme autonome y' = a\,y : a > 0 croissance, a < 0 décroissance, a = 0 constante. • Une condition initiale y(t_0) = y_0 est indispensable pour chiffrer la solution. • La méthode du chapitre : on propose une solution candidate, puis on vérifie par dérivation.

Le cours

1. Ce qu'est une équation différentielle du premier ordre Une équation différentielle du premier ordre met en relation une fonction dérivée y' et la fonction elle-même, avec la variable. On l'écrit y'(t) = f(t\,;\,y) ou, quand le modèle ne dépend que de l'état du système, y'(t) = f(y) : c'est la forme autonome, très fréquente en procédé. • y désigne la grandeur étudiée, y' sa dérivée : une vitesse d'évolution par unité de temps. • Unités : si y est en mg·L^-1 et t en minutes, alors y' est en mg·L^-1·min^-1. • Exemple industriel : la masse de polluant dans un bac suit x'(t) = - x, avec en min^-1. 2. La forme que l'on rencontre dans presque tous les procédés La situation centrale est y' = a\,y, où a est une constante : la vitesse d'évolution est proportionnelle à la grandeur elle-même. Le signe de a décide du sens de l'évolution : a > 0 fait croître, a • Une condition initiale y(0) = y_0 donne la solution unique du modèle. • Sans condition initiale, on obtient une famille de solutions : le modèle ne fixe pas la quantité initiale. 12Otemps txx = exp(−t)x = 2 exp(−t)Champ de directions de x′ = −xPente du segment = −x : plus x est grand, plus il descend 3. Le réflexe attendu en STI2D : chercher puis vérifier On ne démontre pas l'existence et l'unicité des solutions. On cherche une solution candidate sous une forme simple, puis on la vérifie en dérivant. • La fonction candidate est définie sur l'intervalle considéré. • Sa dérivée est bien celle du modèle : pour y = K(at), on retrouve y' = aK(at) = ay. • La condition initiale est satisfaite : K se lit directement dans y(0) = K. 4. Pièges fréquents sur les équations différentielles • Confondre l'équation du modèle et la condition initiale : l'équation y' = a\,y ne dit rien de l'état initial du procédé, il faut le lire sur un relevé ou le mesurer. • Oublier l'unité du temps : une constante donnée en h^-1 doit être convertie en min^-1, sinon la durée trouvée est fausse d'un facteur 60. • Croire que vérifier une solution prouve que toute solution est de cette forme : le raisonnement inverse n'est pas demandé.

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