Propriétés de l'exponentielle : croissance, dérivée et continuité

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• est continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur R. • ((u))' = u'(u) : le coefficient de la variable se reporte devant l'exponentielle. • (x) 1 + x et _x -(x) = 0 : asymptote horizontale non atteinte. • y'(t) a l'unité de y divisée par l'unité de t : c'est un flux, pas un état.

Le cours

1. Croissance, continuité et asymptote La fonction est continue et dérivable sur tout R, strictement croissante, et toujours strictement positive. Elle vérifie trois propriétés qu'un procédé exploite en permanence. • (x) > 1 si x > 0, et (x) • (x) 0 quand x - : l'asymptote horizontale y = 0 n'est jamais atteinte, une décrue n'a donc pas de fin. • (x) 1 + x pour tout x : la tangente en 0 est la droite y = 1 + x. 2. La dérivée, instrument de mesure d'un procédé On dérive par ((u))' = u'(u), et l'on obtient la règle la plus utile du chapitre : la dérivée d'une exponentielle est encore une exponentielle, au coefficient près. Concrètement, y'(t) s'interprète comme un flux : nombre de machines achetées par an, masse de polluant évacuée par minute, vitesse de montée en température. • ((3t + 5))' = 3(3t + 5) : le coefficient de t se reporte devant, il ne disparaît jamais. • La dérivée garde l'unité de la grandeur divisée par l'unité de temps. • Pour y = K(at) avec K > 0, y' = a\,y a le signe de a, et |y'| est d'autant plus grand que y est grand. Grandeur étudiée Dérivée Signification en atelier N(t) = N_0( t) N'(t) = N(t) machines achetées par an x(t) = x_0(-t/) x'(t) = -x(t)/ masse de polluant évacuée par minute (t) = _amb + A(-t/) '(t) = -A/(-t/) vitesse de refroidissement (si A > 0) en °C·min^-1 u(t) = u_0(- t) u'(t) = - u_0(- t) vitesse de décroissance de l'amplitude 3. Contrôler une dérivée par le taux d'accroissement Avant d'écrire un calcul de dérivée, on peut le vérifier numériquement : le quotient y(t + h) - y(t)/h doit tendre vers y'(t) quand h est petit. Cette vérification est la seule disponible sur une machine, où l'on ne dispose que d'un relevé discret. • Avec y(t) = 40(2t + 3) et t = 0 : le quotient pour h = 0,001 vaut 1\,608,5, contre y'(0) = 1\,606,8 par la formule. • L'écart relatif de 0,1\ \% vient du pas h non nul : il diminue quand on prend h plus petit. 4. Pièges de dérivation • Oublier le coefficient de la variable : la dérivée de (-0,08t) est -0,08(-0,08t) et non (-0,08t). Sans ce facteur, toutes les unités sont fausses. • Confondre la dérivée et la fonction : sur un régime exponentiel, elles ont la même forme mais pas le même coefficient ; une vitesse d'évacuation n'est pas une concentration. • Chercher un extremum en annulant la dérivée : (K(at))' = aK(at) ne s'annule jamais. Sur un intervalle [t_1\,;\,t_2], le maximum et le minimum sont donc atteints aux bornes.

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