Bilan : Synthèse et méthode sur Fonction exponentielle et croissance d'un procédé industriel

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Quatre gestes : signe de a, constante de temps = 1/|a|, seuil par logarithme, décision en unités de conduite. • (1) 2,72 et (-1) 0,368 suffisent pour un ordre de grandeur fiable. • 36,8\ \% restant après , 95\ \% de l'écart parcouru après 3, 99,3\ \% après 5. • Toute durée se donne avec son unité, et le premier rang qui franchit un seuil s'obtient en arrondissant à l'entier supérieur.

Le cours

1. Les quatre gestes de la méthode Tout ce chapitre se réduit à une chaîne de quatre décisions, quel que soit le procédé : un four, un bac de traitement, un parc de machines ou un portique vibrant. • 1. Identifier le signe du coefficient a dans y' = a\,y : positif, on parle de croissance ; négatif, de décroissance. • 2. Calculer la constante de temps = 1/|a|, seule durée qui soit directement lisible sur une courbe. • 3. Lire un seuil avec le logarithme : t = (y_0y_seuil) en décroissance, t = 1/(q) en croissance, où q est le facteur d'augmentation visé. • 4. Traduire la durée en décision : cadence d'achat, délai de conformité, nombre de cycles, coût annuel. Modèle industriel Équation du modèle ou T Grandeur décisive parc de machines N(t) = N_0( t) T = 2/ cadence d'achat N'(t) pollution atmosphérique c(t) = c_0(-t/) = 1/ délai de conformité retour à l'équilibre thermique (t) = _amb + A(-t/) = 1/ temps de stabilisation oscillation mécanique u(t) = A_0(- t)(2 f t) = 1/ nombre de cycles utiles charges d'investissement C(t) = C_0( t) = (1 + r) date de croisement 2. Résoudre un problème industriel type Un énoncé de ce type se traite toujours dans le même ordre, et cet ordre n'est pas arbitraire. • Écrire l'équation ou la relation de récurrence en nommant chaque grandeur et son unité. • Placer l'instant de référence à l'instant où la donnée est connue, même si ce n'est pas t = 0. • Résoudre avec un logarithme, puis multiplier par ou diviser par : une seule opération à la fois. • Convertir enfin en unités de conduite : heures, années, cycles, euros par an. 3. Les six pièges à connaître par cœur • Confondre la constante de temps et la demi-vie : la demi-vie vaut 0,6931\,. • Utiliser le pourcentage annuel comme coefficient : il faut (1 + r) quand la donnée est un coefficient multiplicatif. • Oublier le signe dans l'exposant : une décroissance s'écrit (-t/), jamais (t/). • Mal placer la parenthèse d'un argument : (3t + 3) n'est pas (3)(t + 3). • Donner une durée sans unité, ou mélanger les unités : en h^-1 avec t en minutes. • Arrondir un rang à l'entier le plus proche : n 28,06 impose de conclure au rang 29, pas 28. 4. Ordre de grandeur à retenir Les valeurs de référence de l'exponentielle suffisent à trancher une grande partie des questions. • (1) 2,72, (2) 7,39, (3) 20,1, (5) 148. • (-1) 0,368, (-2) 0,135, (-3) 0,0498, (-5) 0,0067. • 2 0,693, 3 1,099, 10 2,303, 20 2,996. • À 1\, : 36,8\ \% restant ; à 3\, : 95\ \% de l'écart parcouru ; à 5\, : 99,3\ \%.

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