Exponentielle et logarithme népérien comme fonctions inverses

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• prend une fois et une seule chaque valeur de ]0\,;\,+[ : sa fonction réciproque est , définie sur ]0\,;\,+[. • ((u)) = u et ((v)) = v : c'est par là que passe tout calcul de durée. • a^t = v t = (v)/(a) pour a > 0 et a 1. • Les courbes de et sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Le cours

1. Deux fonctions qui s'annulent l'une l'autre La fonction exponentielle est strictement croissante sur R et prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. Elle possède donc une fonction réciproque, le logarithme népérien , définie sur ]0\,;\,+[ et à valeurs dans R : pour tout v > 0, (v) est l'unique réel dont l'exponentielle vaut v. • ((u)) = u et ((v)) = v pour tout u et tout v > 0. • Les courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite y = x. • (u) = v se résout en u = (v) : c'est l'opération de base de tout le chapitre. 2. Résoudre une équation exponentielle en trois gestes La forme la plus fréquente en procédé est a^t = v, avec a > 0 et a 1. On isole la puissance, on prend le logarithme népérien des deux membres, puis on isole l'inconnue. • (a^t) = t (a) : c'est la seule propriété à retenir, elle vient de () = identité. • Donc t = (v)/(a), formule valable pour a > 0, a 1. • Contrôle systématique : on rebranche la valeur trouvée dans l'équation de départ. 1(1 ; 0)y = xexpln(0 ; 1)Courbes symétriques par rapport à la droite y = x Seuil visé Forme résolue Durée lue dans le modèle divisé par 2 (-t/) = 0,5 t = 0,6931\, divisé par 10 2^-t/T = 0,1 t = 3,3219\,T divisé par 20 (-t/) = 0,05 t = 2,9957\, divisé par 100 10^-t/T = 0,01 t = 2\,T = 4,6052\, divisé par 1000 (-t/) = 0,001 t = 6,9078\, 3. Le logarithme donne directement une durée Sur un procédé, la question est presque toujours la même : à quelle date la grandeur atteint-elle la valeur réglementaire ? La réponse tient en une seule ligne, où apparaît naturellement. • Décroissance : (-t/) = k t = - (k), où 0 0). • Croissance : ( t) = q t = (q)/, où q est le facteur d'augmentation visé. • Valeurs de à connaître : (2) = 0,693147, (10) = 2,302585, (20) = 2,995732. 4. Pièges sur les fonctions inverses • Inverser une fonction, ce n'est pas la mettre à l'inverse : l'inverse de est , et non 1/, qui vaut (-x). • Confondre ( x)^2 et (x^2) = 2 x : pour x = 3, ( 3)^2 1,207 alors que (9) = 2 3 2,197. • Oublier de diviser par (a) : pour 2^t = 10, la réponse est 3,3219 et non (10) = 2,3026, qui correspondrait à une base e.

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