Doublement d'une population et temps de doublement

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• T = 2/ 0,6931, indépendant de la valeur initiale. • Avec un coefficient multiplicatif annuel q > 1 : T = 2/ q. • Règle de 70 : T 70/r pour un taux annuel de r\ \%, estimation utile en première approche. • Un doublement ne se déduit pas d'une division : 10 ans pour doubler donnent 7,2\ \% par an, et non 10\ \%.

Le cours

1. Le temps de doublement Le doublement est l'instant où une grandeur atteint le double de sa valeur initiale. Dans le modèle N(t) = N_0( t), le temps de doublement T vérifie ( T) = 2. • T = 2/ 0,6931 : il dépend du procédé, pas de la taille du parc. • Un parc de 40 machines et un parc de 400 machines, avec le même , doublent en la même durée T. • Si la donnée est un coefficient multiplicatif annuel q, alors = q et T = 2/ q. N02 N04 N0T2Ttemps (années)Chaque durée T double le parc : N0, puis 2 N0, puis 4 N0 Croissance annuelle r = (1 + r) Temps de doublement T Doublements en 20\ ans 3\ \% 0,029559\ an^-1 23,4 ans 0,85 5\ \% 0,048790\ an^-1 14,2 ans 1,41 7\ \% 0,067659\ an^-1 10,2 ans 1,95 10\ \% 0,095310\ an^-1 7,3 ans 2,75 2. Estimer un temps de doublement sans calculatrice Quand seul un pourcentage annuel est connu, la règle dite « règle de 70 » donne une estimation immédiate, suffisante pour un premier dimensionnement. • Règle de 70 : T 70/r années pour un taux de r\ \% par an. • Pour r = 9\ \% : 70/9 7,8 ans, alors que la valeur exacte 2 1,09 vaut 8,0 ans : l'erreur est faible. • Pour r = 20\ \% : 70/20 = 3,5 ans contre 2 1,2 3,8 ans exactement : la règle est d'autant meilleure que r est petit. 3. Pièges autour du doublement • Confondre T et le temps de demi-vie : diviser par deux demande 0,6931\,, doubler demande 0,6931/, ce sont deux durées différentes pour deux grandeurs différentes. • Déduire un taux annuel d'un temps de doublement par une division simple : si le parc double en 10 ans, le taux annuel n'est pas 10\ \% : = 2/10 0,069\ an^-1, soit une hausse réelle de 2^1/10 - 1 7,2\ \% par an. • Appliquer T à la production au lieu du parc : doubler le parc ne double pas forcément la production si les nouvelles machines ne tournent pas à plein régime.

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