Logarithme décimal d'un nombre positif de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• _10(10^x) = x et 10^_10(x) = x (la première pour tout réel x, la seconde pour x > 0). • _10(10^n) = n : multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal. • _10(2) 0,301, donc 20 _10(2) 6,02 et 10 _10(2) 3,01. • Entrer dans _10 par a 10^n, en sortir par la touche [10^x].

Le cours

1. Ce que mesure un logarithme décimal Sur une chaîne de mesure, une grandeur est presque toujours plus petite que la référence : une tension de 4,7\ mV rapportée à 1\ V, une tension de commande rapportée à 10\ V. Le logarithme décimal _10 ne donne pas ce rapport, mais le nombre de puissances de dix qu'il faut franchir pour l'obtenir. Il est l'inverse de la fonction qui envoie x sur 10^x : _10(10^x) = x et 10^_10(x) = x Domaine : les réels strictement positifs seulement. _10(0) n'existe pas et _10 d'un rapport négatif n'a aucun sens. _10(1) = 0, _10(10) = 1, _10(100) = 2, _10(0,01) = -2 : la valeur lue est directement un exposant. _10(0,5) -0,301 : un rapport inférieur à 1 donne un logarithme négatif, ce qui arrive dès qu'un montage atténue le signal. 2. Quelques valeurs de référence à connaître par cœur En atelier, on manipule surtout des rapports simples. Quatre valeurs de référence suffisent à presque tous les calculs d'atténuation. Rapport r_10(r)Lecture 1/2 = 0,5-0,301un rapport divisé par 2 20,301un rapport multiplié par 2 101une puissance de dix 1002deux puissances de dix 10003trois puissances de dix (de 20\ Hz à 20\ kHz par exemple) 3. Méthode : entrer et sortir du logarithme décimal Entrer : on décompose le nombre en a 10^n avec 1 a _10(a 10^n) = _10(a) + n Ainsi _10(4,5 10^-5) = _10(4,5) - 5 0,653 - 5 = -4,347 : l'exposant n = -5 donne l'ordre de grandeur, et _10(4,5) 0,653, compris entre 0 et 1, situe le nombre à l'intérieur de sa puissance de dix. Sortir : on applique la fonction réciproque x 10^x, avec la touche [10^x] de la calculatrice (souvent en seconde fonction de la touche [LOG]). _10(2,7) 0,431 et 10^0,431 2,70 : l'aller-retour redonne le nombre de départ. Sur une calculatrice, la touche [LOG] est la base 10 et la touche [LN] est la base e : elles ne donnent pas le même résultat pour le même nombre. 4. Trois erreurs à ne pas commettre • Oublier le signe : _10(0,004) = -2,398, pas +2,398. Un rapport de 0,004 est une atténuation. • Confondre la touche : sur une mesure de 4,5 10^-5, la calculatrice donne -4,347 avec [LOG] et -10,01 avec [LN]. Les deux résultats sont justes, pour deux bases différentes. • Croire que _10(ab) = _10(a) _10(b) : c'est une addition, _10(a b) = _10(a) + _10(b), et cette addition est précisément ce qui rend praticables les diagrammes en décibels.

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