Dérivée de la fonction logarithme et calcul de primitives

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• ((x))' = 1/x et ((u))' = u'/u. • Primitive de 1/(ax+b) : 1/a|ax+b| + C. • Primitive de x/(x^2+9) : 1/2(x^2+9) + C. • Vérifier par dérivation : une primitive juste redonne exactement f.

Le cours

1. Dériver un logarithme La dérivée du logarithme népérien est la fonction la plus simple à retenir : ((x))' = 1/xpour x > 0 ((u))' = u'/u La formule s'applique à n'importe quelle fonction u définie et dérivable là où u est strictement positif. Sur un intervalle où u est négatif, on écrit (-u) ou |u|, jamais (u). ((x^2 + 1))' = 2xx^2+1 : c'est le logarithme d'une somme, pas une somme de logarithmes. ((1/x))' = -1/x sur ]0\,;\,+[, car (1/x) = -(x). ((-x))' = -1/-x = 1/x sur ]-\,;\,0[ : le signe se simplifie, le résultat reste positif. 2. Calculer une primitive sans symbole d'intégration Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F' = f : on cherche une fonction dont la dérivée redonne f, ce qui se vérifie immédiatement par dérivation. primitive de 1/x est |x| + C primitive de 1/ax + b est 1/a|ax + b| + C Fonction f(x)Une primitive F(x)Vérification F'(x) 1/x|x| + C1/x 1/x + 2|x + 2| + C1/x + 2 xx^2 + 91/2(x^2+9) + Cxx^2+9 1/x - 5|x - 5| + C1/x - 5 2x + 1x^2 + x|x^2+x| + C2x+1x^2+x 3. Méthode : décomposer avant de primitiver Une primitive se cherche par inversion de la règle de la chaîne, jamais par tâtonnement. Pour une fraction, on décompose en éléments simples : 1/x(x+1) = 1/x - 1/x+1 chaque terme se primitive séparément, ce qui donne une primitive de 1/x(x+1) égale à |x| - |x+1| + C. L'écart de deux valeurs de cette primitive mesure un écart de niveau entre deux états du système, et non une valeur absolue. 1. Écrire la fraction sous forme de somme de termes en 1/(x - a). 2. Poser la primitive de chaque terme avec la formule |x - a| ou |ax+b|, en n'oubliant pas le facteur 1/a. 3. Dériver le résultat obtenu : il doit être rigoureusement identique à la fonction de départ. 4. Pièges • Écrire (x) comme primitive de 1/x sur R : (x) n'existe pas pour x négatif. Sur ]-\,;\,0[, la primitive correcte est (-x) + C. • Oublier le facteur 1/a : la primitive de 1/5x est 1/5|x| + C et non |x| + C. La vérification par dérivation le révèle immédiatement. • Confondre primitive et valeur en un point : une primitive est définie à une constante près, donc jamais uniquement par sa valeur. Seule la différence de deux valeurs est déterminée sans ambiguïté.

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