Décalage d'une courbe en abscisse par un facteur

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Multiplier f_c par k décale la courbe de _10(k) décade. • Nombre de décades au-dessus de la coupure : n = _10(ff_c). • Gain asymptotique au-dessus de la coupure : G_dB -20 n pour un premier ordre. • En dessous de f_c : asymptote horizontale à 0\ dB.

Le cours

1. La propriété de décalage Un filtre ne change pas de forme lorsqu'on change sa fréquence de coupure : il change seulement de position sur l'axe des fréquences. Si l'on multiplie f_c par un facteur k, toute la courbe glisse vers la droite de _10(k) décade. f_c' = k f_c donne un décalage de _10(k) décade (donc 20 _10(k) dB à fréquence fixée) Multiplier f_c par 2 décale la courbe de 0,301 décade, ce qui est peu lisible : on préfère un facteur puissance de dix. Multiplier f_c par 10 décale d'une décade exactement : la courbe conserve tous ses niveaux, à une décade près. Le décalage ne dépend que du rapport k, jamais de la valeur absolue de f_c. 2. Deux filtres de même pente, deux coupures Le tableau ci-dessous donne l'asymptote d'un passe-bas du premier ordre pour deux fréquences de coupure. La seule différence entre les deux colonnes est le nombre de décades entre la coupure et la fréquence considérée. Fréquencef_c = 1\ kHzf_c = 4\ kHz 100\ Hz0\ dB0\ dB 1\ kHz0\ dB0\ dB 4\ kHz-12,04\ dB0\ dB 10\ kHz-20\ dB-7,96\ dB 40\ kHz-32,04\ dB-20\ dB Les deux courbes se coupent à 0\ dB exactement à 1\ kHz pour la première et à 4\ kHz pour la seconde : ce sont deux versions décalées du même gabarit. 3. Méthode : calculer un gain décalé 1. Écrire le nombre de décades entre f_c et la fréquence visée : n = _10(ff_c), positif au-dessus de la coupure, négatif en dessous. 2. Multiplier n par la pente : G_dB -20 n pour un passe-bas du premier ordre au-dessus de f_c. 3. Pour un gain d'amplificateur en amont, ajouter le gain d'amplification : les niveaux en décibels s'additionnent. 4. Vérifier le sens : au-dessus de la coupure le gain décroît, en dessous il est plat : le signe de n suffit à prédire le résultat. 4. Pièges • Compter l'écart en hertz au lieu du rapport : entre 1 et 10\ kHz l'écart est de 9\ kHz et donne une décade, entre 10 et 100\ kHz il est de 90\ kHz et donne encore une décade. • Oublier que le décalage est logarithmique : passer de 1 à 2\ kHz revient à un décalage de 0,301 décade, donc de 6\ dB et non de 1\ kHz. • Appliquer la formule -20 n en dessous de la coupure : pour f f_c l'asymptote est horizontale, donc le gain vaut 0\ dB et non un nombre négatif.

Dans ce chapitre

• Logarithme décimal d'un nombre positif de classe de Terminale
• Fonction exponentielle de référence de classe de Terminale
• Conversion d'une grandeur physique dans une unité de classe de 1ère
• Logarithme népérien et relation avec le logarithme décimal
• Sens de variation et concavité de la fonction logarithme
• Dérivée de la fonction logarithme et calcul de primitives
• Propriétés des logarithmes : produit, quotient et puissance
• Échelle logarithmique et représentation d'une decade
• Diagramme de Bode asymptotique d'un gain
• Décalage d'une courbe en abscisse par un facteur
• Loi de Weber-Fechner et intensité perçue d'un son
• Décade, rapport de puissance et échelle de décibels
• Résolution d'une équation logarithmique par changement de variable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Échelle logarithmique, diagramme de Bode et loi sensorielle