Fonction exponentielle de référence de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• (x) = e^x avec e 2,718282, (0) = 1. • 10^u = (2,302585 u) : le pont entre les deux bases. • e^x = k x = (k) : l'inversion se fait par le logarithme népérien. • Une division par dix d'un signal exponentiel demande 2,303 fois sa constante de temps.

Le cours

1. La fonction exponentielle et sa place en physique L'exponentielle transforme les sommes en produits : (a + b) = (a) (b). Ajouter une même quantité à x multiplie donc toujours (x) par un même facteur. On la note : (x) = e^x avec e 2,718282 est continue et strictement croissante sur R, avec (0) = 1. En acquisition de signal, elle décrit les charges et décharges : la tension d'un condensateur qui se décharge à travers une résistance suit une exponentielle décroissante. (1) 2,718, (2) 7,389, (3) 20,086, (-1) 0,368. _x - (x) = 0 : la droite y = 0 est asymptote horizontale, et (x) > 0 pour tout réel x. est égale à sa dérivée et elle est convexe : sa courbe est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes, par exemple e^x x + 1 (tangente en 0). 2. Le pont avec le logarithme décimal Le point clé pour la suite du chapitre est l'égalité de bases. Comme ((10) u) = 10^u, toute puissance de dix s'écrit aussi comme une exponentielle : 10^u = (u (10)) = (2,302585 u) C'est cette passerelle qui permet de retrouver une intensité à partir d'un niveau en décibels, ou un rapport de puissance à partir d'un gain en décibels, sans jamais sortir de l'exponentielle. Niveau LRapport de puissance 10^L/10Intensité pour I_0 = 10^-12\ Wm^-2 20\ dB10010^-10\ Wm^-2 60\ dB10^610^-6\ Wm^-2 70\ dB10^710^-5\ Wm^-2 3. Méthode : deux équations à ne pas confondre Résoudre e^x = k revient à prendre le logarithme : x = (k). Ainsi e^x = 12 donne x = 2,485. Résoudre (-t/) = 0,1 revient à isoler le temps : t = (10) = 2,303\,. C'est la durée nécessaire pour que le signal soit divisé par dix. Pour revenir d'un niveau L en décibels à un rapport, on calcule 10^L/10 ; écrit avec l'exponentielle, c'est (L/10 (10)), et surtout pas (L/10). 4. Pièges • Confondre 10^x et e^x : pour x = 7, on obtient 10^7 = 10\,000\,000 et e^7 1\,097. L'erreur de base vaut un facteur 9\,120 sur une grandeur physique, ce qui est rédhibitoire. • Chercher à résoudre e^x = k avec k 0 : comme e^x > 0 pour tout réel x, l'équation e^x = -3 n'a aucune solution, et (-3) n'existe pas. • Appliquer e comme une lettre : (x) e x. La valeur e 2,718 est une base, pas un coefficient.

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