Propriétés des logarithmes : produit, quotient et puissance

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• (ab) = (a) + (b), /b = (a) - (b), (a^n) = n (a). • 20 _10(ab) = 20 _10(a) + 20 _10(b) : les gains en décibels s'additionnent. • (a^1/2) = 1/2(a) et (a^-1) = -(a). • (a+b) ne se simplifie jamais.

Le cours

1. Les trois propriétés à utiliser sans hésiter Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier relatif n : (ab) = (a) + (b) (a/b) = (a) - (b) (a^n) = n (a) Ces trois égalités s'écrivent exactement de la même façon pour et pour _10, seule la constante de changement de base diffère. Elles disent toutes la même chose : le logarithme transforme les opérations multiplicatives en opérations additives. (a^-1) = -(a) : une division par une grandeur revient à soustraire. (a^1/2) = 1/2(a) pour a > 0 : une racine devient une division par 2. (a + b) ne se simplifie en rien : c'est la seule expression qu'il faut laisser telle quelle. 2. Ce que cela donne en décibels En multipliant les trois propriétés par 20, on obtient la règle qui rend les schémas d'amplification calculables de tête : les gains en décibels s'additionnent. 20 _10(ab) = 20 _10(a) + 20 _10(b) et 20 _10(a/b) = 20 _10(a) - 20 _10(b) Rapport_10Niveau en décibels 41,3862940,602060+12,04\ dB 0,25-1,386294-0,602060-12,04\ dB 4005,9914652,602060+52,04\ dB 2,5 4(10) = 2,3025851+20\ dB La dernière ligne est à retenir : deux rapports qui se multiplient pour donner 10 donnent 20\ dB, quelle que soit leur décomposition. 3. Méthode : simplifier avant de calculer 1. Chercher un produit ou un quotient dans l'expression : 3,16 0,316 se lit mieux sous la forme 10^0,5 10^-0,5. 2. Fusionner en un seul logarithme, puis appliquer une valeur de référence : (50) + (2) = (100) = 4,605170. 3. Isoler l'inconnue d'une équation : si un terme est au dénominateur, passer la division en soustraction avant de résoudre. 4. Contrôler le signe : un rapport supérieur à 1 donne un logarithme positif, un rapport inférieur à 1 un logarithme négatif. 4. Pièges • Écrire (a + b) = (a) + (b) : sur a = 1 et b = 2, on obtiendrait (3) = 1,098612 à gauche et 0 + 0,693147 = 0,693147 à droite. • Appliquer (a^n) = n(a) à un exposant non entier et à une base négative : (-4) n'existe pas, alors que (-4)^1/2 non plus. • Additionner des décibels sans repasser par les rapports : deux étages de +12\ dB donnent +24\ dB seulement parce que leurs rapports se multiplient ; le résultat reste vrai, mais il ne s'obtient pas en écrivant 12 + 12 au hasard, il faut savoir pourquoi.

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