Résolution d'une équation logarithmique par changement de variable

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Conditions de domaine d'abord : tout argument de est strictement positif. • (A) = (B) A = B et (A) = k A = e^k. • Changement de variable : t = (x) donne x = e^t. • Toujours vérifier la solution obtenue dans le domaine de définition.

Le cours

1. Deux façons de supprimer un logarithme Une équation où figurent des logarithmes se résout toujours de la même façon : on rend les deux membres strictement positifs, puis on leur applique l'exponentielle, qui est la fonction inverse du logarithme. (A) = (B) A = B et (A) = k A = e^k La première écriture enlève d'un coup tous les logarithmes d'une même équation ; la seconde s'applique quand un logarithme est seul d'un côté. Dans les deux cas il ne reste qu'une équation algébrique, dont on cherche les racines et qu'il faut ensuite trier. Condition préalable : chaque argument de doit être strictement positif, sinon l'équation n'est pas définie. est injectif : deux logarithmes égaux ont des arguments égaux, jamais l'inverse. Le résultat doit être vérifié dans le domaine de définition : la plupart des solutions rejetées sont là. 2. Le changement de variable : isoler puis repasser à l'exponentielle Le changement de variable consiste à remplacer l'inconnue par son logarithme, de façon à transformer l'équation en une équation sans logarithme. t = (x) donc x = e^t et t = (ax + b) donc x = e^t - ba L'intérêt est concret : dans une équation mêlant un logarithme et un terme algébrique en x, le changement de variable évite des calculs fastidieux. Dans une équation de niveau, comme 20 _10(G) = -14, il consiste à poser t = _10(G) pour se ramener à une équation du premier degré. ÉquationChangement de variableÉquation obtenue (x) + (x+3) = (4x)aucun, on exponentiex(x+3) = 4x (5x-4) = (x) + (3)aucun, on exponentie5x - 4 = 3x 20 _10(G) = -14t = _10(G)20 t = -14 3(x) = (x^2)t = (x)3t = 2t 3. Méthode en quatre gestes 1. Poser le domaine : sur R, la condition est que chaque expression sous un logarithme soit strictement positive. 2. Simplifier avec les propriétés : fusionner les logarithmes d'un même membre plutôt que de calculer des décimales. 3. Appliquer l'exponentielle aux deux membres, ou poser t = (x) si un logarithme est isolé. 4. Résoudre l'équation algébrique obtenue, puis rejeter toute racine extérieure au domaine. Un cas mérite une vigilance particulière : certaines équations sont des identités sur leur domaine, comme (x^2-1) = (x-1) + (x+1) pour x > 1. Elles n'ont alors pas une solution isolée mais une infinité : le résultat se précise dans la conclusion. 4. Pièges • Écrire (x^2) = 2(x) : c'est vrai pour x > 0, faux pour x négatif, où il faut 2|x|. Une équation qui admet deux solutions s'appuie souvent sur cette identité. • Oublier la condition de positivité avant d'appliquer l'exponentielle : sur 5x - 4 = 3x le résultat est inoffensif, mais sur une équation où l'argument peut être négatif, la réponse est hors sujet. • Croire que se distribue sur une multiplication : 3(x) = (x^3) et non (3x), car le logarithme transforme les produits en sommes.

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