Échelle logarithmique et représentation d'une decade

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une décade sépare une grandeur de dix fois plus grande : 10 100, 100 1\,000, dans n'importe quelle unité. • Nombre de décades : n = _10(f_2f_1), donc 1 décade pour un rapport de 10. • Une octave double la grandeur : 6\ dB en amplitude, 3\ dB en puissance. • Sur l'échelle, les écarts en hertz n'ont aucun sens : compter des rapports.

Le cours

1. Une graduation qui rend les rapports égaux Sur une échelle logarithmique, l'abscisse n'est pas la grandeur elle-même mais le nombre de puissances de dix dont elle s'écarte d'une référence. Deux rapports égaux occupent donc la même distance. Une décade est l'intervalle qui sépare une grandeur de dix fois plus grande. De 10\ Hz à 100\ Hz : une décade. De 1\ kHz à 10\ kHz : une décade aussi. De 100\ Hz à 1\ kHz : une décade également, alors que l'écart en hertz vaut 900 contre 90 dans le premier cas. Une octave double la grandeur : 6\ dB pour un rapport d'amplitude, 3\ dB pour un rapport de puissance. 2. Compter les décades : la seule formule utile Nombre de décades : n = _10(f_2f_1) Cette formule est l'instrument de mesure de l'échelle : on compte des rapports, jamais des différences en hertz. IntervalleRapport f_2/f_1DécadesÉcart en hertz 10 100\ Hz10190 100 1\ kHz101900 20 20\ kHz1\,000319\,980 f10 Hz100 Hz1 kHz10 kHz1 décade1 décade1 décade3 décades : le rapport vaut 1000 3. Méthode : construire et lire une échelle logarithmique 1. Placer la référence f_1, puis 10 f_1, 100 f_1, 1\,000 f_1 à intervalles égaux. 2. Pour placer une fréquence intermédiaire, utiliser son logarithme : 600\ Hz se placent à _10(6) = 0,778 décade au-dessus de 100\ Hz. 3. Pour lire un écart, compter les intervalles ou calculer _10(f_2/f_1) : les deux méthodes doivent coïncider. 4. Pièges • Compter les graduations au lieu des rapports : les intervalles de 10 à 100\ Hz et de 1 à 10\ kHz sont deux décades, alors qu'ils mesurent 90 et 9\,000 en hertz. • Croire qu'une demi-décade est un doublement : une demi-décade est un rapport de 10 3,16, pas de 2. • Oublier que seule l'abscisse est comprimée : le gain reste en décibels, et c'est la double compression, logarithmique puis décimale, qui produit une droite.

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