Sens de variation et concavité de la fonction logarithme

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• '(x) = 1/x > 0 : le logarithme est strictement croissant sur ]0\,;\,+[. • ''(x) = -1/x^2 2 2(x) > (2x) : le logarithme a un rendement décroissant.

Le cours

1. Une croissance qui ralentit Le logarithme est défini sur ]0\,;\,+[ et sa dérivée vaut '(x) = 1/x, toujours strictement positive. La fonction est donc strictement croissante sur son ensemble de définition. Mais cette croissance n'est pas linéaire : entre 0,1 et 1 le logarithme gagne 2,303, et entre 1 et 10 il gagne encore exactement 2,303. Chaque multiplication par dix ajoute donc la même quantité, quelle que soit la valeur de départ : c'est la propriété des décades, et c'est elle qui rend lisibles les échelles logarithmiques. (0,05) = -2,995732 et (20) = 2,995732 : les valeurs sont symétriques autour de (1) = 0. (1) = 0 est l'unique point où la courbe coupe l'axe des abscisses. L'asymptote est la droite verticale x = 0 : la courbe s'en approche sans jamais l'atteindre. 2. La concavité : une courbe en cloche La dérivée seconde vaut ''(x) = -1x^2, toujours négative. La courbe est donc concave : elle est située au-dessous de toutes ses tangentes, et au-dessus de toutes ses cordes. C'est la traduction graphique d'un rendement décroissant : augmenter une grandeur d'un même facteur apporte de moins en moins de gain, car chaque facteur dix ne fait gagner qu'une unité de logarithme. 2 (x) - (2x) = (x/2) > 0 pour x > 2 Autrement dit : doubler l'argument d'un logarithme coûte moins que doubler sa valeur. Ce comportement est exactement celui d'une échelle en décibels. xln(x)tangente en e1e2Oasymptote : x = 0ln(1) = 0 3. Méthode : comparer sans calculatrice 1. Pour comparer (a) et (b), il suffit de comparer a et b : le logarithme conserve l'ordre. 2. Pour comparer deux sommes de logarithmes, on cherche d'abord à les fusionner en un seul : (2) + (50) = (100) = 4,605170. 3. Pour estimer une valeur, on compare avec les puissances de dix : (8) est compris entre (10^0,8) et (10^0,9), donc entre 1,842 et 2,073. 4. Pour lire un écart d'abscisse, on divise : (900) - (100) = (9) 2,197, soit deux unités près. 4. Pièges • Croire que le logarithme « ralentit » signifie qu'il devient constant : (x) tend vers - en 0 et vers + en +, sans jamais être borné. • Inverser concavité et convexité : la fonction exponentielle est convexe, le logarithme est concave. Sur la courbe, le logarithme est en dessous de sa tangente, l'exponentielle au-dessus. • Appliquer la concavité à une échelle de Bode tracée en _10(f) : dans ce repère, 20 _10(f) est une droite. La concavité n'apparaît que si l'abscisse est la fréquence elle-même.

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