Logarithme népérien et relation avec le logarithme décimal

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• (10) = 2,302585 et _10(x) = (x)/(10). • 20 _10(G) = 8,6859 (G) : un néper vaut 8,6859\ dB. • Base dix pour les décades et les décibels, base e pour une dynamique sans unité. • Une décade d'amplitude vaut 20\ dB, et non 10\ dB.

Le cours

1. Une même mesure, deux bases La grandeur mesurée ne dépend pas de la base choisie pour le logarithme : seul change le nombre affiché. Comme ((10) u) = 10^u, on passe d'une base à l'autre par une simple multiplication : (x) = (10) _10(x) = 2,302585 _10(x) _10(x) = (x)/(10) = 0,434294 (x) (10) = 2,302585 est la seule constante de conversion à mémoriser : tout le reste en découle. 1 néper vaut 8,6859 décibels, car 20/(10) = 8,6859. Les deux bases servent à des objets différents : la base dix pour les décibels et les décades, la base e pour la dynamique en népers. 2. Le logarithme népérien dans le calcul d'un niveau Un gain en décibels s'écrit avec un logarithme décimal, jamais avec un logarithme népérien. Corrigé en népers, il devient un simple multiple de : G_dB = 20 _10(G) = 20/(10) (G) = 8,6859 (G) Cette écriture n'est pas une curiosity : elle montre que passer de G à 0,001 revient à retirer 3 8,6859 = 26,06\ dB, quelle que soit la valeur de départ. Rapport G(G)20 _10(G)Lecture 10006,90775560\ dBtrois décades d'amplitude 20,6931476,02\ dBamplitude doublée 0,1-2,302585-20\ dBamplitude divisée par dix 0,01-4,605170-40\ dBdeux décades d'atténuation 3. Méthode : choisir la base, puis convertir 1. L'abscisse est une fréquence et la grandeur est un rapport : c'est le logarithme décimal qui donne directement le nombre de décades. 2. La grandeur est un niveau en décibels : on écrit 20 _10, et pour un rapport de puissance 10 _10. 3. La grandeur est une dynamique brute (rapport d'intensités, rapport de pressions) sans unité : le logarithme népérien est alors naturel, et l'unité s'appelle le néper. 4. Pour passer de l'un à l'autre : multiplier par 2,302585 pour aller vers , multiplier par 8,6859 pour aller vers les décibels d'amplitude. 4. Pièges • Écrire (G) 20 et annoncer 20\ dB : le facteur correct est 8,6859, car il faut d'abord convertir la base. Sur G = 0,02, on obtiendrait -78,24 au lieu de -33,98. • Confondre la conversion de base avec une facteur : (x) = _10(x) (10) est une multiplication, mais (ax) n'est pas (a) (x) : le facteur multiplicatif devient un terme additif. • Utiliser _10 sur un rapport négatif : un gain d'amplificateur peut être négatif en tension (inversion de phase), mais son module est positif et c'est lui que l'on exploite en décibels.

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