Équations différentielles linéaires du premier ordre de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit a\,y'(t) + b\,y(t) = c\,t + d : y n'y figure qu'à la première puissance. • La forme canonique de l'automatisme est \,y'(t) + y(t) = K\,u(t), avec une durée et K un gain statique. • La condition initiale y(t_0) = y_0 est une donnée extérieure à l'équation : sans elle, on obtient une famille de solutions. • Méthode du chapitre : proposer y = B + A(- t), dériver, remplacer, simplifier. • Les unités de 1/ sont l'inverse de l'unité de temps : ne jamais mélanger minutes et secondes.

Le cours

1. Une équation différentielle du premier ordre Un système technique décrit par un état y(t) — une température, une tension, un niveau, une masse — évolue selon une équation différentielle du premier ordre : elle relie la dérivée de la grandeur à la grandeur elle-même. a\,y'(t) + b\,y(t) = c\,t + d avec a 0 Le mot linéaire signifie que y et y' n'apparaissent qu'à la première puissance et ne sont multipliés que par des nombres : aucun terme comme y^2, y y' ou (y) ne figure dans l'équation. • y est la grandeur physique étudiée, y' sa vitesse d'évolution : une unité de y par unité de temps. • Une condition initiale y(t_0) = y_0 n'appartient pas à l'équation : c'est une donnée supplémentaire du modèle, indispensable pour obtenir une seule courbe. • Une équation sans condition initiale décrit une famille de courbes, pas un relevé : l'instrument de mesure en donne une à chaque essai. 2. La forme normalisée de l'automatisme En régulation industrielle, on ramène presque toujours le modèle à une seule forme, appelée forme canonique du premier ordre. \,y'(t) + y(t) = K\,u(t) u est la consigne, c'est-à-dire l'entrée ou l'ordre reçu ; y est la mesure, c'est-à-dire la sortie ou l'image physique. Toute la physique du système est alors contenue dans deux nombres : , sa constante de temps, et K, son gain statique. • a exactement la même unité que t : c'est une durée, jamais un pourcentage. • K s'exprime en unité de sortie par unité d'entrée : en V·°C^-1 pour un capteur de température, en mA·L^-1 pour un capteur de niveau. • Pour une consigne u constante, le produit K\,u est la valeur de y pour laquelle y' = 0 : c'est le régime permanent, la valeur vers laquelle la mesure tend quand > 0. • En divisant par : y'(t) = K/(t) - 1/(t), ce qui montre les deux forces en jeu, la commande d'un côté, la relaxation interne de l'autre. 3. La méthode du chapitre : proposer, puis vérifier Aucune théorie générale des équations différentielles n'est nécessaire ici. On part de la forme que l'on donne à la solution annoncée, on la dérive, on la remplace dans l'équation, et on simplifie jusqu'à obtenir une identité. • On pose la solution candidate sous la forme d'une constante plus une exponentielle : y(t) = B + A(- t), avec trois paramètres A, B et . • On dérive : y'(t) = -\,A(- t), en utilisant les dérivées de la notion suivante. • On remplace dans l'équation du système et on simplifie : les termes en exponentielle se simplifient entre eux, le terme restant donne la valeur permanente. • Il reste une seule inconnue, A : la condition initiale la fixe. Les deux autres paramètres sont imposés par la physique du système. 4. La discipline des unités, première source d'erreur Avant toute résolution, on aligne les unités membre à membre. Si y est en litres et t en minutes, alors y' est en L·min^-1 ; si le coefficient 1/ vaut 0,15\ min^-1, la même équation écrite en secondes porte le coefficient 0,1560 = 0,0025\ s^-1, soixante fois plus petit. Erreur classique : conserver 0,15 en remplaçant les minutes par des secondes. On trouve alors = 6,67\ s au lieu de 400\ s : toutes les durées obtenues sont divisées par 60, et l'élève conclut que le système est soixante fois plus rapide qu'il n'est. Le contrôle est simple : toute durée calculée doit sortir dans l'unité de temps choisie au départ. Second réflexe : vérifier que est strictement positif. Une constante de temps négative ne décrit aucun système physique, elle signale une erreur de signe dans l'équation posée.

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