Réponse à une décroissance exponentielle et montée critique

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une entrée u = u_0(-t/T) donne une sortie qui est une somme de deux exponentielles : y = (-t/T) + (y_i - )(-t/) avec = K\,u_0\,T/T-. • Si T = , alors y(t) = K\,u_0/\,t(-t/) + A(-t/) ; si y(0) = 0, le maximum vaut K\,u_0/e, atteint en t = . • La montée critique est le cas où l'amplitude A = y_i - y_p s'annule : la réponse est plate, sans exponentielle. • La sortie atteint son maximum à l'instant où elle croise K\,u(t), puisque y' = (K\,u - y)/ s'y annule. • La sortie contient la durée T de l'entrée et la constante de temps du système ; quand l'entrée est coupée (u = 0), seule subsiste.

Le cours

1. Répondre à une entrée qui décroît Une consigne n'est pas toujours un échelon : elle peut aussi décroître exponentiellement, par exemple quand une source chaude est coupée ou qu'une tension de repos s'annule. La réponse d'un système du premier ordre à une telle entrée est alors une somme de deux exponentielles. u(t) = u_0(-t/T) y(t) = (-t/T) + (y_i - )(-t/) avec = K\,u_0\,T/T - . Les deux constantes de temps du modèle, T pour l'entrée et pour le système, apparaissent donc dans la sortie. • Le terme en (-t/T) est la part de la sortie qui suit la consigne, le terme en (-t/) est la relaxation propre du système. • Pour comparer sortie et entrée, on compare y(t) à K\,u(t), la valeur que viserait le système. Comme y' = K\,u - y/, la sortie monte tant qu'elle est sous K\,u(t), atteint son maximum quand elle le croise, puis, en retard sur une entrée qui décroît, reste au-dessus de K\,u(t) : c'est un effet d'inertie, et non une erreur de signe. • À la limite, si la consigne décroît très lentement, donc T , la sortie suit la consigne avec un retard de l'ordre de . maximumentrée décroissantesortiegrandeurEntrée décroissante : la sortie suit à son tour 2. Le cas particulier T = La formule précédente devient inutilisable quand les deux durées coïncident. On cherche alors une solution de la forme t(-t/), et le résultat reste très lisible. y(t) = K\,u_0/\,t(-t/) + A(-t/) Si la sortie part de zéro (A = 0), la réponse commence par croître, atteint un maximum en t = , puis décroît : on obtient une impulsion arrondie. • Dans ce cas A = 0, le maximum vaut K\,u_0/ e^-1 = K\,u_0/e. Si A 0, l'instant et la valeur du maximum changent : ils dépendent de l'état initial. • Aucune division par T - n'est possible ici : c'est l'erreur classique du sujet. 3. La montée critique : quand le transitoire s'annule La réponse d'un système du premier ordre à un échelon s'écrit y = y_p + A(-t/). L'amplitude A = y_i - y_p mesure l'écart entre l'état initial et la valeur permanente. Lorsque cet écart est nul, la réponse ne contient plus d'exponentielle. Ce chapitre appelle montée critique ce cas limite d'une montée d'amplitude nulle (ce n'est pas un terme normalisé d'automatique : on dit aussi qu'il n'y a pas de régime transitoire). • A = 0 signifie y_i = y_p : le système est déjà dans son régime permanent au moment où l'ordre arrive, la courbe est plate. • C'est le cas d'un capteur chaud qui reçoit une consigne déjà atteinte, ou d'une vanne fermée au moment exact du passage en régime établi. • Tant que A 0, la courbe possède une montée, et sa pente initiale vaut -A/ = y_p - y_i/ : la montée critique est le cas limite où cette pente s'annule. • Au tout début de la montée (t ), (-t/) 1 - t/, donc y(t) y_i + y_p - y_i/\,t : la courbe se confond avec sa tangente à l'origine. 4. Pièges Confondre la décroissance de l'entrée et celle de la sortie : si la consigne devient nulle, la sortie tend vers zéro mais avec la constante de temps du système, et non avec T qui n'existe plus. Appliquer la formule avec T = conduit à une division par zéro. Le passage à la limite est instructif, mais il faut le savoir : c'est le seul cas où la réponse ne s'écrit pas comme une somme de deux exponentielles. Comparer directement y et u quand K 1 : avec K = 2, une sortie de 5,4\ V face à une entrée de 3,4\ V est en réalité sous la valeur visée K\,u = 6,7\ V. La comparaison utile est toujours entre y(t) et K\,u(t).

Dans ce chapitre