Condition initiale et détermination de la constante d'intégration

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• A est la seule constante d'intégration : elle est déterminée par la condition initiale, pas par l'équation. • A = (y_0 - B)(t_0/), et A = y_0 - B seulement si t_0 = 0. • La forme complète est y(t) = y_p + (y_i - y_p)(-t/). • Changer la condition initiale ne change ni y_p ni : seule l'amplitude de la montée change. • L'état initial retrouvé doit rester physiquement plausible, sinon le modèle est faux.

Le cours

1. Où intervient la condition initiale Dans l'équation du système, la condition initiale n'apparaît pas : elle sert à fixer la seule constante libre. Une réponse y(t) = B + A(-t/) vérifie l'équation quel que soit A ; c'est l'état du système à un instant donné qui choisit la bonne valeur. y(t_0) = y_0 A = (y_0 - B)(t_0/) Dans le cas courant t_0 = 0, la formule se réduit à A = y_0 - B : c'est l'écart entre l'état initial et le régime permanent qui commande toute la montée. • La condition initiale est une donnée du problème, pas une conséquence de l'équation. • B ne dépend pas de A : un système relaxe toujours vers la même valeur permanente, quel que soit son point de départ. • Si l'on change de condition initiale, seule A change : la courbe conserve le même palier et la même constante de temps. 2. La forme complète de la réponse Une fois A déterminé, la réponse s'écrit dans une forme unique que l'on utilise partout : l'écart multiplié par une exponentielle décroissante. y(t) = y_p + (y_i - y_p)(-t/) SymboleSignification physiqueOrigine y_pvaleur permanente, ou paliercalculée par l'équation : y_p = K\,u y_ivaleur initiale, lue à t = 0condition initiale du problème y_p - y_iamplitude de la montéeA du signe changé de tempsrapport des coefficients de l'équation 3. Le cas où la condition n'est pas donnée à t = 0 En pratique, on applique souvent la consigne alors que le système est déjà en marche. La mesure n'est connue qu'à l'instant t_0 > 0, et il faut remonter à l'état initial. La formule générale A = (y_0 - B)(t_0/) s'applique telle quelle. • Le facteur (t_0/) est supérieur à 1 : l'amplitude A retrouvée est plus grande en valeur absolue que l'écart mesuré. • On peut aussi changer l'origine des temps et écrire y(t) = y_p + (y_t_0 - y_p)(-t-t_0/), ce qui donne directement l'état initial y_t_0. • Contrôle : l'état initial retrouvé doit être physiquement plausible, sinon le couple (, y_t_0) est incompatible avec le système. 4. Pièges de détermination de A Confondre A et l'écart y_i - y_p : cette égalité n'est vraie que si la condition initiale est donnée à t = 0. Appliquée à une mesure prise en marche, elle conduit à un état initial faux. Changer d'origine des temps sans changer l'exposant : si l'on pose t = 0 à l'instant de la mesure, l'exposant doit devenir -(t - t_0)/ et non -t/. Prendre B pour l'état initial. Les deux valeurs ne coïncident que si le système part exactement de son régime permanent : alors A = 0 et la grandeur ne varie pas, il n'y a aucun régime transitoire.

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