Équation différentielle du second ordre et oscillation libre d'un système

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Le modèle du second ordre s'écrit y'' + 2 y' + _0^2\,y = _0^2\,u, avec en s^-1 et _0 en rad·s^-1. • En oscillation libre, on pose y'' + 2 y' + _0^2y = 0 et on calcule = 4(^2 - _0^2). • < 0 : la solution est y = (- t)(A(_d t) + B(_d t)), avec _d = _0^2 - ^2. • L'enveloppe décroît comme (- t) et la pseudo-période T_d = 2/_d est plus longue que T_0 = 2/_0. • 0 : la réponse est une somme d'exponentielles, le système ne peut pas osciller.

Le cours

1. Quand l'ordre devient deux Un système possède autant d'inerties que d'énergies stockées indépendantes : une masse suspendue à un ressort en possède deux, l'énergie cinétique de la masse et l'énergie potentielle du ressort. Le modèle est alors du second ordre. m\,y'' + f\,y' + k\,y = F(t) y'' + 2\,y' + _0^2\,y = _0^2\,u(t) avec u = F/k l'entrée ramenée en déplacement, = f/(2m) le coefficient d'amortissement en s^-1, _0 = k/m la pulsation propre en rad·s^-1, et f le coefficient de frottement visqueux en N·s·m^-1. • et _0 ne dépendent pas de la consigne : ce sont des propriétés du système, comme pour le premier ordre. • La pulsation propre est une pulsation, pas une fréquence : f_0 = _0/2. • Le rapport = /_0 est le facteur d'amortissement : c'est lui, et non seul, qui qualifie le régime. 2. L'oscillation libre En oscillation libre, le système est laissé à lui-même : on annule le terme de droite et on cherche ce qu'il fait spontanément. Le programme de STI2D traite le cas sans frottement, y'' + _0^2\,y = 0, dont les solutions sont y = A(_0 t) + B(_0 t). Les cas amortis du tableau sont un approfondissement : leurs solutions sont admises. y'' + 2\,y' + _0^2\,y = 0 Le discriminant de r^2 + 2 r + _0^2 = 0 vaut = 4(^2 - _0^2) : c'est lui qui décide de tout. ConditionDiscriminantSolutionRégime = 0 y = A(_0 t) + B(_0 t)non amorti 0 y = (- t)(A(_d t) + B(_d t))oscillation amortie = _0 = 0y = (A + Bt)(- t)critique > _0 > 0y = A(r_1 t) + B(r_2 t)suramorti La pulsation observée est alors la pseudo-pulsation _d = _0^2 - ^2, et la pseudo-période T_d = 2/_d est plus grande que la période propre : l'amortissement allonge la période. Deux conditions initiales sont alors nécessaires, y(0) et y'(0), et non une seule comme au premier ordre. • L'enveloppe des oscillations vaut A(- t) : elle décroît d'un facteur e toutes les 1/ secondes. • La décroissance est lente quand est petit devant _0, cas d'un oscillateur peu frottant. pseudo-périodeenveloppedéplacementétat stableOscillation libre amortie : l'enveloppe décroît 3. Méthode : passer par l'équation homogène Pour obtenir l'oscillation libre d'un système réel, on procède toujours ainsi. • Écrire l'équation homogène, c'est-à-dire le modèle sans consigne extérieure. • Poser l'équation caractéristique et calculer = 4(^2 - _0^2) : c'est le seul calcul à faire. • • 0 : écrire une somme d'exponentielles, et conclure que le système ne peut pas osciller. • Déterminer A et B avec les deux conditions initiales, puis lire la période sur la courbe. 4. Pièges Écrire une solution en cosinus lorsque > 0 : les racines sont réelles, la réponse est une somme d'exponentielles, et aucune oscillation n'apparaît. Confondre la période propre et la pseudo-période : dès que n'est plus négligeable, elles diffèrent, et c'est T_d qu'on mesure sur un relevé réel. Oublier la condition initiale sur la vitesse : avec y(0) seul, la constante B reste inconnue. Pour _0 = 20\ rad·s^-1, y(0) = 0,050\ m et y'(0) = 1,0\ m·s^-1, l'amplitude vaut 0,050^2 + (1,0/20)^2 0,071\ m, et non 0,050\ m.

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