Stabilité d'un système et signe du gain

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• La stabilité ne dépend pas du signe du gain mais du signe de : stable si > 0, divergent si < 0. • Le signe de K fixe le sens de la valeur permanente y_p = K\,u, et rien d'autre. • En boucle fermée de gain de retour : K_b = K/1 + K et _b = /1 + K. • Un retour de mauvais signe tel que K < -1 rend 1 + K négatif : la constante de temps apparente devient négative et la boucle diverge. • Une sortie qui décroît vers son permanent est le signe de la stabilité, non de l'instabilité.

Le cours

1. Ce qu'est la stabilité d'un système Un système est stable si sa sortie revient vers sa valeur permanente après toute perturbation, quel que soit son état initial. Sur la forme générale, tout se joue sur le signe de , dans l'exposant de l'exponentielle. y(t) = y_p + A(-t/) stable > 0 (-t/) 0 Le signe du gain K ne décide pas de la stabilité : c'est le signe de qui la décide. Un gain négatif renverse simplement le sens de la réponse, il ne la rend pas divergente. • > 0 : la courbe va vers y_p, quel que soit le signe de A : le système est stable. • • A = 0 : la sortie est déjà à sa valeur permanente y_p et y reste, cas particulier sans aucune dynamique. 2. Le signe du gain renverse la réponse Le signe de K fixe le signe de la valeur permanente y_p = K\,u, et donc le sens dans lequel la sortie s'établit. Il ne change ni , ni la vitesse, ni la stabilité. Gain KConsigne u positiveRéponseLecture K > 0u > 0la sortie monte vers une valeur positivecapteur direct K u > 0la sortie descend vers une valeur négativecapteur inverseur K = 0u > 0la sortie tend vers 0, quelle que soit la consigneaucune transmission K > 0 avec u > 0la sortie divergesystème instable • Le signe du gain se lit sur l'étalonnage du capteur, ou sur la comparaison de deux mesures. • Une chaîne qui inverse le sens de la grandeur mesurée n'est pas défectueuse : l'inversion est un choix de câblage, et il se compense par un câblage aussi. 3. L'asservissement en boucle fermée Une boucle de régulation ne fait pas que transporter la consigne : elle en corrige l'erreur résiduelle. Cette correction agit sur le gain apparent et sur la constante de temps apparente du système bouclé. _b\,y' + y = K_b\,u_c avec K_b = K/1 + K et _b = /1 + K • Un retour négatif d'intensité divise le gain et la constante de temps par le même facteur 1 + K : la réponse devient plus vive, mais le gain apparent est plus faible. • La boucle corrige les erreurs d'étalonnage et les perturbations de charge, qu'aucune chaîne ouverte ne peut compenser. • Si le retour est du mauvais signe, le terme 1 + K peut s'annuler puis s'inverser : la constante de temps apparente devient négative et la boucle diverge. 4. Pièges Conclure à l'instabilité parce que la réponse est décroissante : une sortie qui décroît vers une valeur permanente est au contraire le comportement normal d'un système stable. Confondre le signe du gain et le signe de l'écart : sur un capteur inverseur, une augmentation de la grandeur mesurée produit une diminution de la tension, ce qui est attendu et non un défaut. Se contenter de la valeur permanente en oubliant l'exponentielle : le calcul y_p = K_b\,u_c donne une valeur finie même quand la boucle diverge. Cette valeur n'est atteinte que si la constante de temps apparente est positive : il faut vérifier les deux.

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