Bilan : Synthèse et méthode sur Réponse transitoire d'un système technique du premier ordre

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Les cinq nombres : , K, y_p = K\,u, A = y_i - y_p et l'écart y(t) - y_p = A(-t/). • Les trois repères : pour 63\ \%, 3 pour 95\ \%, 5 pour 99,3\ \%. • La méthode : état, bilan, normalisation, permanent, amplitude, condition initiale, contrôle. • En boucle fermée : K_b = K/1 + K et _b = /1 + K, avec stabilité si 1 + K > 0. • y_p et dépendent du système, A dépend de l'essai : jamais de confusion entre les deux.

Le cours

1. Les cinq nombres d'un système du premier ordre Toute la matière du chapitre tient dans cinq grandeurs et trois formules, qui suffisent à traiter la plupart des problèmes d'instrumentation et de régulation. GrandeurSymboleCalculUnité Constante de temps, C/k ou 1/ Gain statiqueKy_p/usortie par entrée Valeur permanentey_pK\,uunité de y Amplitude (écart initial)Ay_i - y_punité de y Écart au régime permanenty(t) - y_pA(-t/)unité de y y(t) = y_p + A(-t/) \,y'(t) + y(t) = K\,u(t) Trois repères suffisent ensuite : pour 63\ \% de la variation, 3 pour le critère de stabilisation à 5\ \%, 5 pour l'état établi à moins de 1\ \%. • y_p et sont des propriétés du système ; A est une propriété de l'essai. 2. La méthode, dans un ordre qui ne s'inverse pas Face à un énoncé de ce type, on suit toujours le même enchaînement, et jamais à l'envers. • Choisir la grandeur d'état y et l'origine des temps t = 0, puis écrire le bilan physique : ce qui entre, ce qui sort, ce qui s'accumule. • Normaliser en \,y' + y = K\,u, en vérifiant que > 0 et que les unités tombent juste. • En déduire y_p = K\,u et = 1/, tous deux indépendants de l'état initial. • Écrire y(t) = y_p + A(-t/), puis déterminer A par la condition initiale donnée. • Contrôler : la formule redonne-t-elle la mesure, et l'erreur à 5 est-elle bien inférieure à 1\ \% de l'amplitude ? 3. Trois fiches à reconnaître Trois situations reviennent sans cesse : le capteur, l'actionneur, la boucle. SituationModèleConstante de tempsGain statiqueErreur à valider Capteur de température4,2\,u' + u = 0,19\,4,2\ s0,19\ V·°C^-1erreur de zéro Vanne de régulation8\,q' + q = 12\,u_c8,0\ s12\ L·min^-1·V^-1erreur de charge Boucle de pilotage_b\,y' + y = K_b\,u_c/1 + K/1 + Ké : 1 + K > 0 La dernière ligne montre ce que change la fermeture de la boucle : en retour négatif, gain et constante de temps sont divisés par 1 + K, et la stabilité n'est conservée que si ce facteur reste positif. 4. Erreurs récurrentes Oublier l'état de référence dans un bilan thermique, et trouver une valeur permanente inférieure à la température ambiante : la grandeur étudiée est alors l'écart à l'ambiante, pas la température absolue. Prendre ensuite la consigne pour l'amplitude de la montée, ou pour le temps de stabilisation : à t = , il reste encore 37\ \% de l'écart. Confondre gain et inertie : un gain qui double ne change ni ni la forme de la courbe, et une constante de temps qui double ne change pas la valeur permanente. Ces deux nombres décrivent deux choses distinctes : K fixe où va la sortie, fixe à quelle vitesse elle y va.

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