Dérivée d'une exponentielle de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• ddt(k\,t) = k(k\,t) : le coefficient k de l'exposant sort en facteur. • ddt(-t/) = -1/(-t/) est la dérivée de référence du chapitre. • Une constante se dérive en 0 : le palier B d'une réponse B + A(-t/) ne contribue pas à la pente. • La pente initiale vaut y'(0) = -A/ et la pente s'annule au palier. • On note les dérivées avec la prime : y'(t) et y''(t).

Le cours

1. La dérivée qui commande tout le chapitre Toute réponse d'un système du premier ordre est une exponentielle multipliée par un coefficient, ce qui rend une seule dérivée indispensable. ddt(k\,t) = k(k\,t) En dérivant, le coefficient k de l'exposant sort en facteur devant l'exponentielle, qui, elle, reste inchangée. C'est cette règle qui permet de relier la pente d'une réponse à sa constante de temps . • ddt(-t/) = -1/(-t/) : le facteur 1/ vient de la dérivée de -t/. • ddt(B + A(- t)) = -\,A(- t) : une constante se dérive en zéro, l'exponentielle se dérive en elle-même multipliée par la dérivée de l'exposant. • (- t) est toujours strictement positif : le signe de y'(t) = -\,A(- t) est donc celui de - A. Avec > 0, la réponse croît si A 0. 2. Dériver une somme et un produit Les réponses réelles sont des sommes et des produits : un capteur suivi d'un amplificateur donne u(t) = G(B + A(-t/)), avec deux paramètres et un facteur de gain. On développe ou on garde le facteur constant, puis on dérive terme à terme. • Une constante se dérive en 0 : le palier d'une réponse ne contribue pas à la pente. • Un facteur constant se conserve : ddt(G\,f(t)) = G\,f'(t) (c'est la formule (ab)' = a'b + ab' avec a' = 0). • Une somme se dérive membre par membre, ce qui laisse une somme de deux exponentielles dans le cas d'un système couplé. Fonction y(t)Dérivée y'(t)Pente initiale y'(0) A(-t/)-A/(-t/)-A/ B + A(-t/)-A/(-t/)-A/ G(B + A(-t/))-GA/(-t/)-GA/ 12 - 36(-t/6) + 24(-t/4)6(-t/6) - 6(-t/4)0 3. La dérivée se relit sur la courbe Dériver, c'est mesurer une vitesse de variation. Sur un relevé réel, la dérivée en un instant se lit comme la pente de la tangente à la courbe en cet instant. Cette lecture graphique remplace le calcul et sert de contrôle. • La pente est maximale en valeur absolue en t = 0 : c'est la pente initiale, égale à -A/. Elle combine l'amplitude du transitoire et la vitesse du système. • La pente s'annule quand le système atteint son palier : à partir de là, la mesure ne bouge plus et la dérivée est nulle. • Le signe de la dérivée donne le sens de variation : positif à la montée, négatif à la descente, nul au palier. 4. Trois pièges de dérivation Confondre l'exposant et le facteur : pour y = 5(-t/2), la dérivée est -2,5(-t/2) et non -5t(-t/2). La fonction intérieure est -t/2, dont la dérivée vaut -1/2. C'est l'erreur la plus fréquente : le facteur t fait croire à une pente qui grandit avec le temps, alors que la courbe décroît vers 0 de moins en moins vite. Oublier que le palier disparaît à la dérivation : pour y = 12 - 9(-t/3), on a y'(t) = 3(-t/3), sans terme constant ; écrire y'(t) = 12 + 3(-t/3) donnerait une pente qui ne s'annule jamais. Chercher à dériver un produit de deux fonctions inconnues sur une réponse mesurée : si u(t) n'est pas connu analytiquement, on lit la pente sur le relevé au lieu de dériver, ce qui est plus rapide et tout aussi exact.

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