Solution générale d'une équation différentielle linéaire

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• La solution générale de a\,y' + b\,y = c s'écrit y = c/b + A(-b/at) (a 0, b 0) ; si a et b sont de même signe, c/b est la valeur permanente. • Le terme constant est la valeur permanente, l'exposant est l'inverse de la constante de temps. • A est la seule constante d'intégration : elle est fixée par la condition initiale. • On vérifie une solution en dérivant puis en remplaçant, jamais en intégrant. • Pour un système stable, > 0 : l'exposant - t est négatif. Un négatif signale un système instable ou une erreur de signe.

Le cours

1. Chercher une solution de la forme annoncée Une équation différentielle linéaire du premier ordre se résout en supposant que la solution est une constante plus une exponentielle. Cette forme n'est pas une astuce : elle est imposée par l'équation. y(t) = B + A(- t) L'exponentielle est solution de l'équation homogène associée, et une constante est solution de l'équation complète quand elle compense le terme constant. Les deux termes se combinent donc nécessairement. • B est la valeur permanente du système, imposée par l'équation elle-même. • est l'inverse de la constante de temps, toujours positif pour un système stable. • A est la seule inconnue libre : c'est la constante d'intégration, fixée par la condition initiale. • Le mot générale signifie que A reste libre : sans condition initiale, toutes les valeurs de A sont solutions. 2. Identifier B et dans l'équation du système On dérive la solution annoncée, on remplace dans l'équation, puis on identifie le terme indépendant de t et le terme en exponentielle. Dans \,y' + y = K\,u avec u constante : (- A(- t)) + B + A(- t) = K\,u (1 - )\,A(- t) + B = K\,u Pour que l'égalité soit vraie pour tout t, il faut 1 - = 0, donc = 1/, et B = K\,u. Équation différentielleTerme constant BExposant y' = a\,y + b avec a -b/a-a a\,y' + b\,y = c avec a > 0, b > 0c/bb/a \,y' + y = K\,u avec u constanteK\,u1/ y' = a\,y avec a 0-a • B se calcule avec le second membre et les coefficients, jamais avec la condition initiale : B ne dépend pas de l'état de départ. • se lit sur le rapport des coefficients, il ne dépend pas non plus de la condition initiale : c'est la vitesse propre du système. 3. Vérifier en une ligne, sans intégrer La vérification se fait en remplaçant, pas en répétant le raisonnement. On écrit y' = - A(- t), on substitue, et l'on simplifie jusqu'à une identité. C'est le seul contrôle possible sur un papier, et il suffit à valider une solution. • Si le terme en exponentielle ne se simplifie pas, est faux : il faut relire le rapport des coefficients. • Une solution vérifiée qui ne satisfait pas la condition initiale est solution de l'équation, pas du problème : il manque la détermination de A. • La forme de la solution générale est donnée par le cours (y' = a\,y + b a pour solutions y = C(a\,t) - b/a) : on l'applique, puis on la vérifie par dérivation plutôt que de refaire la démonstration. 4. Pièges de résolution Prendre B = y(0). La valeur permanente et la valeur initiale sont deux nombres sans rapport : pour un capteur qui part de zéro et monte vers 8\ V, B = 8\ V et y(0) = 0, donc A = -8. Oublier de simplifier avant de comparer, et conclure que l'équation n'a pas de solution parce que A et (- t) ne se ressemblent pas. On ne compare jamais deux fonctions : on compare deux coefficients. Écrire < 0 pour un système qui relaxe. L'exposant de la solution générale est toujours négatif, sinon la grandeur s'écarterait indéfiniment de son régime permanent.

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