Réponse à un échelon : montée, palier et retard

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Un échelon passe de 0 à u_0 à l'instant t = 0 ; la réponse vaut y(t) = y_p + A(-t/) avec A = y_i - y_p. • La réponse se lit en trois temps : retard pur éventuel (la sortie ne bouge pas), montée, palier. • est la durée, comptée depuis le début de la montée, pour parcourir 63,2\ \% de la montée ; ce n'est pas un retard. • 3 donne 95\ \% de la montée, 5 donne 99,3\ \%, le temps de montée 10 à 90\ \% vaut 2,1972\,. • Le palier vaut exactement y_p = K\,u_0, et l'amplitude de la montée vaut l'écart initial, jamais la consigne.

Le cours

1. Ce qu'est un échelon Un échelon est la consigne la plus simple qui soit : elle passe instantanément d'une valeur nulle à une valeur constante u_0, et elle y reste. u(t) = 0 \ pour t La réponse se lit en trois temps : un éventuel retard (ou retard pur T_r), pendant lequel la sortie ne bouge pas encore, par exemple le temps qu'un fluide parcoure une conduite ; la montée, qui dure quelques constantes de temps ; le palier, où la sortie vaut y_p = K\,u_0. • La montée commence avec la pente y_p - y_i/, la plus forte de la réponse, et le palier n'est jamais atteint en un temps fini. • La constante de temps se mesure à partir du début de la montée : c'est la durée nécessaire pour parcourir 63,2\ \% de la montée. Elle ne doit pas être confondue avec le retard. 95 % à 3 tautau3 tau63,2 %valeur permanentesortie yÉchelon : la sortie ne bouge pas avant l'ordre 2. Les repères chiffrés d'une réponse à un échelon Tous les repères se lisent sur une seule ligne, à partir de la seule constante de temps. Sortie atteinteDurée depuis le début de la montéeLecture y_i0valeur initiale y_i + 0,632\,(y_p - y_i) de la constante de temps y_i + 0,950\,(y_p - y_i)3ère de stabilisation usuel y_i + 0,993\,(y_p - y_i)5ème considéré comme établi • Le temps de montée de 10\ \% à 90\ \% vaut 9 = 2,1972\,. • Le retard pur, délai de propagation de l'ordre avant que la sortie ne bouge, est distinct de : il est dû à un transport, pas à l'inertie. Avec un retard T_r, chaque durée du tableau se compte à partir de T_r. • Une sortie qui ne part pas de zéro donne une courbe de même forme et de même : seul l'écart y_p - y_i change. 3. Méthode en quatre gestes Face à un relevé de réponse à un échelon, quatre questions suffisent. • Quelle est la valeur permanente ? Elle se lit sur le palier ou vaut y_p = K\,u_0. • Quel est l'écart initial ? C'est l'amplitude A de la montée, et non la valeur lue à t = 0 si la sortie démarrait déjà en marche. • Y a-t-il un retard pur ? On le lit entre l'instant de l'ordre et le début de la montée, puis on mesure à partir de ce début. • Que demande-t-on ensuite ? Un délai, une précision ou une correction se traduisent toujours par un multiple de . 4. Pièges de lecture d'un échelon Croire que le palier est atteint à 3 : à cet instant il reste 5\ \% de l'écart, soit une erreur réelle. Le critère de 95\ \% est une convention de l'ingénieur, pas une propriété de la courbe. Confondre la constante de temps, le temps de montée et le retard : se lit à 63,2\ \% de la montée, le temps de montée de 10 à 90\ \% vaut 2,1972\,, et le retard pur est la durée avant que la sortie ne commence à bouger. Relancer le calcul à partir de zéro quand la consigne change : si la sortie vaut 4,0\ V et que la consigne passe à 6,5\ V, la montée ne vaut que 2,5\ V. C'est l'erreur la plus fréquente sur une consigne qui ne part pas de zéro.

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