Équation différentielle d'un système du premier ordre

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Le bilan d'un système stockant une grandeur s'écrit C\,y' = q_e - k\,y : une capacité, un débit d'entrée, une fuite proportionnelle. • La forme normalisée est \,y' + y = K\,u avec = C/k, en secondes, et K\,u la valeur permanente. • L'ordre du système égale le nombre de grandeurs stockées : une capacité donne le premier ordre. • = RC, = mc/hA et = L/R sont les trois expressions à savoir lire. • La valeur permanente doit être située du bon côté de l'état initial, sinon l'état de référence a été oublié.

Le cours

1. Le bilan d'un système qui stocke Un système du premier ordre possède une seule grandeur stockée : une charge dans un condensateur, une masse de produit dans une cuve, une énergie thermique dans un corps. On écrit alors un bilan, où ce qui entre moins ce qui sort égale ce qui s'accumule. C\,y'(t) = q_e(t) - k\,y(t) C est la capacité du système, q_e le débit d'entrée, et k\,y la fuite, naturellement proportionnelle à ce qui est stocké. C'est cette fuite qui rend le système du premier ordre : sans elle, la grandeur ne reviendrait jamais à zéro. • y' est le débit d'accumulation, exprimé dans l'unité de y par seconde. • C porte l'unité de la grandeur stockée divisée par une unité d'écart : J·°C^-1 pour un corps, F pour un condensateur, kg pour une masse. • k est une conductance : W·°C^-1 pour un échange thermique, S pour un conducteur, s^-1 pour une masse qui fuit à proportion de sa quantité. 2. La forme normalisée et ses trois paramètres En divisant le bilan par k, on isole deux nombres qui suffisent à décrire tout le système, une fois la grandeur mesurée par rapport à un état de référence. \,y'(t) + y(t) = K\,u(t) avec = C/k K est le gain statique : pour une entrée u constante appliquée définitivement, le système se stabilise à la valeur permanente K\,u. SystèmeÉquation du bilanConstante de temps permanente Condensateur en chargeR\,C\,u' + u = ER\,CE Cuve chauffée par une résistancemc\,' = P - hA\,( - _e)mc/hA_e + P/hA Bobine en courant continuL\,i' + R\,i = uL/Ru/R Cuve de dosage alimentée par un débitV' = q - k\,V1/kq/k • = C/k est toujours positif dès que C > 0 et k > 0 : c'est le premier test de cohérence d'un modèle. • K\,u a la même unité que y : si ce n'est pas le cas, le gain a été calculé dans la mauvaise unité. 3. Reconnaître l'ordre d'un système L'ordre d'un système se lit dans son schéma, pas dans son équation résolue. On compte les grandeurs stockées, et l'ordre vaut ce nombre. • Un état stocké et une seule dérivée donnent un système du premier ordre : une constante de temps, une exponentielle dans la réponse. • Deux états stockés donnent un système du second ordre, ou un système couplé : deux exponentielles dans la réponse, ou une oscillation. • L'inertie d'un système vient toujours d'un élément qui stocke (condensateur, bobine, masse d'eau, masse de produit), jamais d'une résistance seule, qui ne fait que dissiper. • Un système réel d'ordre élevé se ramène à un modèle du premier ordre en regroupant les constantes de temps proches : c'est la plus lente qui compte. 4. Trois erreurs d'interprétation Oublier l'état de référence. Une cuve à 18\ °C dans une ambiance à 18\ °C reçoit 9\ kW : la grandeur étudiée est l'écart - _e, et non . Écrire 627\,' = 9 - 1,2\, (avec m\,c = 627\ kJ·°C^-1 et hA = 1,2\ kW·°C^-1) conduit à un régime permanent de 9/1,2 = 7,5\ °C, plus froid que l'ambiance alors qu'on chauffe, ce qui est physiquement impossible : la bonne valeur est 18 + 7,5 = 25,5\ °C. Le test consiste à vérifier que la valeur permanente se situe du bon côté de l'état initial. Confondre la fuite et la commande. q_e dépend de la consigne, k\,y n'en dépend pas : cette distinction décide de la stabilité du système. Accepter un coefficient de fuite négatif. Un modèle avec k < 0 décrit un système qui produit sa propre grandeur au lieu de la dissiper, et aucune durée physique n'en découle.

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