Constante de temps et signification physique

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• = C/k : la constante de temps est le rapport d'une capacité par une conductance. • À t = , 36,8\ \% de l'écart initial subsiste et 63,2\ \% de la montée est parcourue. • 3 donne 95\ \%, 5 donne 99,3\ \%, le temps de montée 10 à 90\ \% vaut 2,1972\,. • La tangente en t = 0 recoupe le palier exactement au bout de . • Avec deux mesures : = t_2 - t_1(y_p - y_1/y_p - y_2).

Le cours

1. Une durée, et non un pourcentage La constante de temps est le rapport de la capacité par la conductance du système. Elle mesure le temps qu'il faut au système pour oublier son état initial. = C/k SystèmeCapacité CConductance kConstante de temps CondensateurC en F1/R en SR\,C Corps chauffém\,c en J·°C^-1hA en W·°C^-1m\,c/hA BobineL en HR en ΩL/R • est fixée par le dimensionnement : doubler la masse d'un corps multiplie par deux, et la valeur numérique d'une constante de temps exprimée en secondes est 60 fois sa valeur exprimée en minutes. • ne dépend pas de l'amplitude de la consigne : la réponse est aussi rapide pour un ordre faible que pour un ordre fort. 2. Les trois lectures de sur une courbe Une exponentielle ne se lit pas, elle se repère : trois repères suffisent à situer la réponse d'un système du premier ordre. Durée(-t/) restantFraction de la montée parcourueLecture 0,367963,21\ \%le système a fait près des deux tiers du chemin 20,135386,47\ \%il reste environ un septième de l'écart 30,049895,02\ \%critère de stabilisation usuel 50,006799,33\ \%système considéré comme établi • Ces pourcentages sont universels : ils ne dépendent ni du système, ni de la consigne. • Le temps de montée entre 10\ \% et 90\ \% vaut 9 = 2,1972\,, et le temps de demi-réponse vaut 0,6931\,. 3. Trois façons de retrouver sur un relevé Sur un relevé réel, ne se calcule pas : elle se lit, ou se déduit de deux mesures. Les trois méthodes ci-dessous se contrôlent l'une l'autre. • Lecture directe : repérer l'instant où la grandeur a parcouru 63,2\ \% de l'écart entre sa valeur initiale et sa valeur permanente. Cet instant est . • Lecture de la tangente : la tangente tracée en t = 0 recoupe la droite du palier exactement à l'instant t = . • Deux mesures : avec y_p connue, = t_2 - t_1(y_p - y_1/y_p - y_2). 4. Ce que la constante de temps n'est pas La constante de temps n'est pas le temps de demi-vie : celle-ci vaut 0,6931\,, soit 31\ \% plus courte. Une notice qui annonce une demi-vie de 10\ min décrit un système de constante de temps 14,4\ min. Elle n'est pas davantage le temps de stabilisation, qui dépend du critère choisi : 3 pour 95\ \% et 5 pour 99\ \%.

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