Régime permanent et régime transitoire d'un système

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• L'erreur résiduelle vaut (t) = y_p - y(t) = (y_p - y_i)(-t/) : elle décroît avec la même constante de temps que la réponse. • 2 laisse 13,5\ \%, 3 laisse 5,0\ \%, 4 laisse 1,8\ \%, 5 laisse 0,67\ \%. • 1\ \% est atteint à t = 4,605\,. • Le régime permanent ne dépend que de la consigne et du gain, le transitoire que de et de l'amplitude initiale. • On compare toujours l'erreur résiduelle au critère du cahier des charges.

Le cours

1. Les deux temps de toute réponse Une réponse de système du premier ordre se lit en deux parties. Le régime transitoire est la portion de courbe où la sortie évolue encore ; le régime permanent est l'état final, stable, vers lequel elle tend. y(t) = y_p + (y_i - y_p)(-t/) (t) = y_p - y(t) = (y_p - y_i)(-t/) L'erreur (t) est l'écart entre la valeur permanente et la valeur atteinte. Elle part de l'écart initial y_p - y_i et décroît avec la même constante de temps que la réponse : elle est donc le meilleur outil pour juger la qualité d'un réglage. • Le régime permanent ne dépend que de la consigne et du gain : il est indépendant de l'état de départ du système. • Le régime transitoire ne dépend que de la constante de temps et de l'amplitude initiale. • (t) 0 quand t + : le palier est une limite, jamais un instant atteint. 2. L'erreur résiduelle chiffrée L'erreur résiduelle se lit directement dans la fraction de l'amplitude encore présente. Pour une amplitude donnée, les valeurs suivantes sont universelles. InstantFraction de l'amplitude restanteErreur pour une amplitude de 12\ mALecture de conduite 213,53\ \%1,62\ mAmontée encore nettement visible 34,98\ \%0,60\ mAprécision industrielle usuelle 41,83\ \%0,22\ mAbonne précision 50,67\ \%0,08\ mAsystème considéré comme établi 4,605\,1,00\ \%0,12\ mAcritère d'un capteur de précision • Le seuil de 1\ \% n'est pas un nombre arbitraire : il correspond à t = -(0,01). • Le seuil de 5\ \% correspond à t = -(0,05) = 2,9957\,, d'où la règle des 3. 3. Méthode : permanent d'abord, erreur ensuite L'ordre des questions n'est pas négociable, car l'erreur se mesure par rapport au permanent. • Calculer ou lire y_p : c'est le palier, ou K\,u si la consigne est constante. • Calculer l'écart de départ y_p - y_i, qui n'est pas la consigne. • En déduire l'erreur à l'instant demandé par (t) = (y_p - y_i)(-t/). • Comparer enfin l'erreur au critère du cahier des charges : c'est là que se décide l'acceptabilité du système, et non la seule allure de la courbe. 4. Pièges Écrire que le régime permanent est atteint à 3 : à cet instant il reste 5\ \% de l'amplitude. Le régime permanent est une limite asymptotique, on ne l'atteint jamais exactement. Confondre l'erreur de transitoire avec l'erreur de consigne. Un système peut se stabiliser très précisément sur une valeur permanente fausse, si le gain est mal étalonné : les deux erreurs sont indépendantes. Appliquer la règle des 5 à un système du second ordre : la réponse n'est plus une exponentielle unique, et le délai de stabilisation dépend alors de l'amortissement.

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