Système d'équations différentielles couplées de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Un système couplé s'écrit une équation par état, et une condition initiale par état. • En cascade, on résout l'amont seul puis on injecte : la réponse aval est une somme de deux exponentielles. • La constante de temps la plus lente domine le comportement final ; l'étage amont ajoute un retard de l'ordre de _1. • La réponse aval part avec une pente nulle et a une forme en S : elle n'atteint 63\ \% de sa valeur finale que vers _1 + _2. • Une somme d'exponentielles se dérive terme à terme, ce qui donne une somme de deux pentes.

Le cours

1. Deux états, deux équations Un système technique possède parfois deux états liés : deux cuves en cascade, deux masses thermiques en contact, deux étages d'un capteur. On écrit alors un système d'équations différentielles couplées, une équation par état, où la dérivée de l'un dépend de l'autre. cases x'(t) = -x(t)/_1 \6pt] y'(t) = x(t) - y(t)/_2 cases Chaque équation est du premier ordre : rien de nouveau n'est nécessaire, la seconde dépend simplement de la première par son terme source. • Couplage en aval : le second état est alimenté par le premier, la dépendance joue dans un seul sens. • Couplage en retour : chaque état dépend de l'autre, le système forme une boucle et les deux réponses se mélangent. • Une condition initiale est nécessaire par état : deux nombres, sinon la trajectoire reste indéterminée. 2. Résoudre un cas simple : deux étages en cascade Dans une cascade, la première équation se résout seule, puis on injecte son résultat dans la seconde. Avec un débit d'entrée imposé valant U, on obtient une somme de deux exponentielles, dont chacune se lit comme la constante de temps d'un étage. x(t) = U(1 - (-t/_1)) y(t) = U - A(-t/_2) + C(-t/_1) avec C = U\,_1/_2 - _1 Pour _1 = 4\ min, _2 = 6\ min et U = 12\ L, on obtient C = 24 et, avec y(0) = 0, A = 36. y(t) = 12 - 36(-t/6) + 24(-t/4) 3. Ce que dit la réponse d'un système couplé Une somme de deux exponentielles contient deux constantes de temps, et chacune correspond à un étage du système. La plus lente domine le comportement à long terme. • La courbe de la seconde cuve part avec une pente nulle, s'accélère puis ralentit : elle a une forme en S, avec un point d'inflexion (ici vers t 4,9\ min), puis se stabilise. • Elle n'atteint pas 63\ \% de sa valeur finale à _2 = 6\ min : y(6) 4,1\ L seulement (34\ \%). Le seuil de 63\ \%, soit 7,6\ L, n'est franchi que vers 10,7\ min, proche de _1 + _2 = 10\ min. • Le retard supplémentaire apporté par l'étage amont est de l'ordre de _1 : c'est le temps pendant lequel l'aval reçoit encore peu de chose de l'amont. • La formule de C suppose _1 _2 (sinon on diviserait par 0) : deux étages identiques donnent une réponse d'une autre forme, qui ne se ramène pas à celle d'un seul étage. 4. Pièges de lecture d'un système couplé Résoudre la seconde équation avant la première : en cascade, l'équation aval contient x(t), qu'il faut d'abord connaître. On résout toujours l'amont seul, puis on remplace x(t) par son expression dans l'équation aval. Oublier une condition initiale, ou introduire une constante par équation sans les relier entre elles : avec deux équations et deux conditions initiales, on referme exactement le système. Une constante laissée libre décrit une infinité de trajectoires, et non l'expérience réalisée. Enfin, lire la réponse comme si elle était lisse et monotone dès le départ : la courbe de la seconde cuve a une pente initiale nulle, car son niveau ne peut pas changer instantanément. Ce contrôle se fait en dérivant la solution obtenue.

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