Suites de motifs évolutifs : repérer la régularité et prévoir une étape — 6ème

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Un motif évolutif est une suite de figures numérotées qui grandit d'une étape à la suivante selon une règle régulière. • Repérer la régularité, c'est séparer ce qui reste fixe de ce qui s'ajoute à chaque étape. • Dans un tableau « étape / nombre d'éléments », un écart constant entre étapes voisines permet de prévoir l'étape suivante. • Pour une étape lointaine, on calcule avec la structure : nombre d'allumettes = 1 + 3 numéro de l'étape.

Le cours

1. Qu'est-ce qu'un motif évolutif ? Un motif évolutif est une suite de figures numérotées : étape 1, étape 2, étape 3… D'une étape à la suivante, la figure grandit selon une règle régulière. Contrairement à un motif répétitif, rien ne revient à l'identique : on cherche ce qui reste fixe et ce qui s'ajoute à chaque étape. Exemple : une rangée de carrés construite avec des allumettes. À l'étape 1, un carré ; à l'étape 2, deux carrés accolés ; à l'étape 3, trois carrés accolés. Étape 14 allumettes Étape 27 allumettes Étape 310 allumettes 2. Méthode : repérer la régularité 1. Compter les éléments des premières étapes et les noter dans un tableau. 2. Calculer l'écart entre deux étapes voisines. S'il est toujours le même, c'est ce qui s'ajoute à chaque étape. 3. Pour l'étape suivante, ajouter cet écart au nombre d'éléments de l'étape précédente. Étape12345 Allumettes47101316 Écart+3+3+3+3 Chaque nouveau carré ne demande que 3 allumettes, car il partage un côté avec le carré précédent. 3. Prévoir une étape lointaine grâce à la structure Pour l'étape 50, ajouter 3 quarante-neuf fois serait long. On lit plutôt la structure de la figure : une allumette verticale au départ, puis 3 allumettes par carré. D'où un calcul valable pour toutes les étapes : nombre d'allumettes = 1 + 3 numéro de l'étape Étape 50 : 1 + 3 50 = 151 allumettes. Une autre lecture est possible : 4 allumettes pour le premier carré, puis 3 pour chacun des 49 autres, soit 4 + 3 49 = 151. Deux descriptions justes de la même figure donnent toujours le même résultat. 4. Attention Le nombre d'allumettes n'est pas proportionnel au numéro de l'étape : l'étape 5 ne demande pas 5 4 = 20 allumettes, mais 16. Par ailleurs, l'écart n'est pas toujours constant : avec des carrés pleins de jetons (1, 4, 9, 16 jetons), les écarts valent 3, 5, 7 ; la régularité se trouve alors dans les écarts eux-mêmes, qui augmentent de 2.

Dans ce chapitre

• Numération des nombres entiers et unités de numération de CM2
• Ajouter ou retrancher 10, 100 ou 1 000 à un nombre entier de CM2
• Motifs répétitifs et suites de nombres à pas constant de CM2
• Rangs, classes et écriture en chiffres et en lettres des grands nombres
• Comparaison, rangement et encadrement des nombres entiers
• Décomposition canonique et valeur de position des chiffres
• Demi-droite graduée et repérage des nombres entiers
• Conversions entre unités de numération : milliers, millions et milliards
• Écrire un grand nombre avec un nombre décimal de millions ou de milliards
• Successeur, prédécesseur et nombre d'entiers compris entre deux entiers
• Arrondir un nombre entier à la dizaine, à la centaine, au millier ou au million
• Suites de motifs évolutifs : repérer la régularité et prévoir une étape — 6ème
• Motifs évolutifs : retrouver l'étape qui utilise un nombre donné d'éléments — 6ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les nombres entiers et la numération