Motifs évolutifs : retrouver l'étape qui utilise un nombre donné d'éléments — 6ème

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Retrouver l'étape à partir d'un nombre d'éléments, c'est faire le chemin inverse de la règle du motif. • On défait les opérations dans l'ordre contraire : la règle « 2 puis + 1 » se défait en « - 1 puis 2 ». • Si la division ne tombe pas juste, aucune étape n'utilise exactement ce nombre d'éléments. • Avec un stock limité, le quotient donne la plus grande étape réalisable et le reste, les éléments qui ne servent pas.

Le cours

1. La question inverse Quand on connaît la règle d'un motif évolutif, on sait calculer le nombre d'éléments d'une étape. On peut aussi faire le chemin inverse : partir d'un nombre d'éléments et retrouver le numéro de l'étape, ou montrer qu'aucune étape ne convient. Exemple : une bande de triangles en allumettes, accolés tête-bêche. L'étape 1, un triangle, utilise 3 allumettes ; l'étape 2 en utilise 5 ; l'étape 3 en utilise 7. Chaque triangle ajouté demande 2 allumettes, d'où la règle : nombre d'allumettes = 1 + 2 numéro de l'étape 2. Méthode : défaire la règle 1. Écrire la règle comme une suite d'opérations : on part du numéro, on multiplie par 2, puis on ajoute 1. 2. Défaire ces opérations dans l'ordre contraire : d'abord retirer 1, la partie fixe, puis diviser par 2. 3. Vérifier en replaçant le numéro trouvé dans la règle. Quelle étape utilise 41 allumettes ? 41 - 1 = 40, puis 40 2 = 20 : c'est l'étape 20. Vérification : 1 + 2 20 = 41. 3. Quand la division ne tombe pas juste Avec 50 allumettes : 50 - 1 = 49, et la division de 49 par 2 donne 24, reste 1. Aucune étape n'utilise exactement 50 allumettes : l'étape 24 en demande 49 et l'étape 25 en demande 51. Le même calcul répond à une question de stock : avec 100 allumettes, 100 - 1 = 99 et 99 = 49 2 + 1. On peut construire au plus l'étape 49, qui utilise 99 allumettes, et il en reste 1. 4. Attention Diviser en premier fausse tout : 41 2 ne tombe pas juste, alors que l'étape 20 existe bien. La partie fixe se retire toujours avant de diviser. Pour de petits nombres, on peut aussi prolonger le tableau des étapes jusqu'au nombre cherché, mais la méthode inverse est bien plus rapide pour une étape lointaine.

Dans ce chapitre

• Numération des nombres entiers et unités de numération de CM2
• Ajouter ou retrancher 10, 100 ou 1 000 à un nombre entier de CM2
• Motifs répétitifs et suites de nombres à pas constant de CM2
• Rangs, classes et écriture en chiffres et en lettres des grands nombres
• Comparaison, rangement et encadrement des nombres entiers
• Décomposition canonique et valeur de position des chiffres
• Demi-droite graduée et repérage des nombres entiers
• Conversions entre unités de numération : milliers, millions et milliards
• Écrire un grand nombre avec un nombre décimal de millions ou de milliards
• Successeur, prédécesseur et nombre d'entiers compris entre deux entiers
• Arrondir un nombre entier à la dizaine, à la centaine, au millier ou au million
• Suites de motifs évolutifs : repérer la régularité et prévoir une étape — 6ème
• Motifs évolutifs : retrouver l'étape qui utilise un nombre donné d'éléments — 6ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les nombres entiers et la numération