Décomposition canonique et valeur de position des chiffres

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Valeur d'un chiffre = chiffre valeur de son rang : dans 43\,508, le 3 vaut 3 1\,000 = 3\,000. • Décomposition canonique : 43\,508 = 4 10\,000 + 3 1\,000 + 5 100 + 8. • Un rang vide ne donne aucun terme, mais il réapparaît sous forme de 0 quand on reconstitue le nombre. • Les valeurs des rangs sont 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000… : chacune vaut dix fois la précédente.

Le cours

Valeur de position d'un chiffre Dans l'écriture d'un nombre entier, chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang : unités (1), dizaines (10), centaines (100), unités de mille (1\,000), dizaines de mille (10\,000), centaines de mille (100\,000), unités de millions (1\,000\,000)… Chaque rang vaut dix fois le rang situé à sa droite. Valeur d'un chiffre = chiffre valeur de son rang. Dans 43\,508, le 4 vaut 40\,000, le 3 vaut 3\,000, le 5 vaut 500, le 0 des dizaines vaut 0 et le 8 vaut 8. Décomposition canonique d'un nombre entier Décomposer un entier de façon canonique, c'est l'écrire comme la somme des produits de chacun de ses chiffres non nuls par la valeur de son rang. Dans cette écriture, chaque facteur placé devant une valeur de rang est un seul chiffre, de 1 à 9. Un nombre a aussi d'autres décompositions, utiles en calcul mental : 43\,508 = 435 100 + 8 = 4\,350 10 + 8. Elles sont justes, mais elles ne sont pas canoniques. Exemple 1 : Décomposition standard Pour 43\,508, le rang des dizaines est vide, il ne donne aucun terme : aligned 43\,508 &= (4 10\,000) + (3 1\,000) \\ & + (5 100) + 8 aligned Exemple 2 : Reconstituer un nombre Trouver le nombre égal à (7 100\,000) + (4 100) + (9 10). Attention aux zéros intercalés : les dizaines de mille, les unités de mille et les unités sont vides. Le nombre est 700\,490. Astuce méthode Pour éviter d'oublier les zéros dans les rangs manquants, visualiser toujours un tableau de numération avec ses colonnes (unités, dizaines, centaines pour chaque classe) et écrire un 0 dans chaque colonne vide.

Dans ce chapitre

• Numération des nombres entiers et unités de numération de CM2
• Ajouter ou retrancher 10, 100 ou 1 000 à un nombre entier de CM2
• Motifs répétitifs et suites de nombres à pas constant de CM2
• Rangs, classes et écriture en chiffres et en lettres des grands nombres
• Comparaison, rangement et encadrement des nombres entiers
• Décomposition canonique et valeur de position des chiffres
• Demi-droite graduée et repérage des nombres entiers
• Conversions entre unités de numération : milliers, millions et milliards
• Écrire un grand nombre avec un nombre décimal de millions ou de milliards
• Successeur, prédécesseur et nombre d'entiers compris entre deux entiers
• Arrondir un nombre entier à la dizaine, à la centaine, au millier ou au million
• Suites de motifs évolutifs : repérer la régularité et prévoir une étape — 6ème
• Motifs évolutifs : retrouver l'étape qui utilise un nombre donné d'éléments — 6ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les nombres entiers et la numération