Multiples encadrant un nombre : ajouter ou retirer pour qu'une division tombe juste

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Si a = b q + r avec 0 r < b, alors b q a < b (q + 1). • Pour tomber sur un multiple de b : retirer r, ou ajouter b - r. • Le multiple de b le plus proche de a correspond au plus petit des deux nombres r et b - r.

Le cours

1. Deux multiples consécutifs La division euclidienne a = b q + r, avec 0 r b q a Par exemple, 250 = 12 20 + 10 : le nombre 250 est compris entre 240 = 12 20 et 252 = 12 21. 2. Retirer ou ajouter Pour descendre au multiple juste en dessous, on retire le reste : 250 - 10 = 240. Pour monter au multiple juste au-dessus, on ajoute ce qui manque, c'est-à-dire le diviseur moins le reste : 12 - 10 = 2, et 250 + 2 = 252. Le multiple le plus proche est celui qui demande le plus petit ajustement : ici 2 3. Méthode 1. Effectuer la division euclidienne de a par b : quotient q, reste r. 2. Nombre à retirer : r ; on obtient le multiple b q. 3. Nombre à ajouter : b - r ; on obtient le multiple b (q + 1). 4. Si le reste est nul, a est déjà un multiple de b : il n'y a rien à ajouter ni à retirer. Dans un problème, « combien d'objets restent hors des boîtes ? » se lit dans le reste r, tandis que « combien en manque-t-il pour remplir une boîte de plus ? » se lit dans b - r. 4. Attention : parfois deux réponses Quand le reste vaut exactement la moitié du diviseur, les deux multiples voisins sont aussi proches l'un que l'autre. Pour 30 et 12 : 30 = 12 2 + 6, donc 30 - 24 = 6 et 36 - 30 = 6. Les multiples de 12 les plus proches de 30 sont 24 et 36.

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