Division euclidienne entière : dividende, diviseur, quotient et reste

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Division euclidienne de a par b (b 0) : a = b q + r avec 0 r < b. • Vocabulaire : a dividende, b diviseur, q quotient, r reste ; ce sont tous des nombres entiers. • Reste nul : a est un multiple de b, et b est un diviseur de a. • Le nombre de chiffres du quotient s'estime avec b 10, b 100, b 1\,000.

Le cours

1. Définition et vocabulaire Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b non nul, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient q et le reste r, tels que : a = b q + r avec 0 r a est le dividende (le nombre que l'on divise) et b le diviseur. Le quotient et le reste sont des nombres entiers : la division euclidienne ne donne jamais de virgule. 2. Multiples et diviseurs Lorsque le reste est nul, on dit que a est divisible par b, que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a. Par exemple 91 = 7 13 + 0 : 91 est un multiple de 7 et 7 est un diviseur de 91. En revanche 95 = 7 13 + 4 : 95 n'est pas divisible par 7. 3. Poser la division : exemple de 1 845 divisé par 6 1. Estimer le nombre de chiffres du quotient : 6 100 = 600 1\,845 2. Diviser le premier « morceau » du dividende qui contient le diviseur : en 18 centaines, il y va 3 fois (3 6 = 18), reste 0. 3. Abaisser le chiffre suivant : en 4 dizaines, il y va 0 fois ; on écrit 0 au quotient et il reste 4. 4. Abaisser le dernier chiffre : en 45 unités, il y va 7 fois (7 6 = 42), reste 3. 5. Conclure et vérifier : 1\,845 = 6 307 + 3 avec 3 4. Lire le résultat dans un problème Le quotient et le reste répondent à des questions différentes. Pour emmener 154 élèves dans des cars de 48 places, on écrit 154 = 48 3 + 10 : 3 cars sont pleins, mais les 10 élèves restants imposent un quatrième car. Un reste non nul oblige alors à ajouter 1 au quotient. 5. Attention Chaque fois qu'un chiffre est abaissé, il faut écrire un chiffre au quotient, même si c'est 0. Oublier ce 0 donnerait ici 37, et 6 37 = 222 est très loin de 1\,845 : l'estimation du nombre de chiffres permet de repérer l'oubli.

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