Phénomènes périodiques : trouver une position dans un cycle grâce au reste

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Une suite qui répète un motif de p éléments a pour période p. • Rang n : on divise n par p ; si le reste r n'est pas nul, c'est l'élément n° r du motif ; si le reste est nul, c'est le dernier élément du motif. • « Dans n jours » : on avance dans la semaine du reste de la division de n par 7.

Le cours

1. Un motif qui se répète Une guirlande répète toujours les mêmes couleurs dans le même ordre : bleu, rouge, vert, puis de nouveau bleu, rouge, vert… On dit que la suite est périodique ; sa période est 3, le nombre d'éléments du motif. Pour connaître la couleur d'une ampoule lointaine, inutile de tout compter : la division euclidienne suffit. 2. L'élément de rang n Pour trouver l'élément n° n d'une suite de période p, on effectue la division euclidienne n = p q + r : q motifs complets sont passés, puis on avance encore de r éléments. Si r 0, l'élément n° n est l'élément n° r du motif. Si r = 0, l'élément n° n termine un motif : c'est le dernier élément du motif. Ainsi 50 = 3 16 + 2 : l'ampoule n° 50 est la deuxième du motif, rouge. Et 51 = 3 17 + 0 : l'ampoule n° 51 termine un motif, elle est verte. 3. Les jours de la semaine Les jours se répètent tous les 7 jours. Pour savoir quel jour on sera « dans n jours », seul le reste de la division de n par 7 compte : les semaines complètes ramènent au même jour, puis on avance du reste. Un lundi, dans 100 jours : 100 = 7 14 + 2. Les 14 semaines complètes ramènent au lundi, puis on avance de 2 jours : ce sera un mercredi. 4. Attention : un rang n'est pas un décalage Si le jour n° 1 d'un séjour est un lundi, le jour n° 100 est le deuxième élément du motif lundi, mardi, …, dimanche, car 100 = 7 14 + 2 : c'est un mardi. En revanche, 100 jours après ce lundi, on sera un mercredi. Le jour n° 1 est déjà compté dans le rang, alors qu'un décalage part du jour même.

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