Fraction égale à un entier, à un décimal ou à un non-décimal ; arrondis de 1/3 et de π — 6ème

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À retenir

• a/b est un entier quand a est un multiple de b : 56/8 = 7. • a/b est un décimal quand elle est égale à une fraction de dénominateur 10, 100, 1\,000… : 7/20 = 35/100 = 0,35. • Sinon, la division ne s'arrête jamais et le nombre est non décimal : 1/3 = 0,333 • Un non-décimal se donne exactement par sa fraction, et approximativement par un arrondi : 1/3 0,33 et 3,14 au centième.

Le cours

1. Trois sortes de nombres Une fraction a/b est toujours un nombre : le quotient de a par b. Selon les cas, ce nombre est : un entier, quand a est un multiple de b : 35/7 = 5 ou 12/12 = 1 ; un décimal non entier, quand la fraction est égale à une fraction de dénominateur 10, 100, 1\,000… : 3/8 = 375/1\,000 = 0,375 ; un non-décimal, quand c'est impossible : 1/3, 5/6 ou 2/7 n'ont pas d'écriture décimale exacte, car leur division ne s'arrête jamais. Par exemple, 2 7 = 0,285\,714\,285\,714 : le bloc de chiffres 285\,714 se répète sans fin, parce que les mêmes restes reviennent. 2. Méthode : reconnaître la sorte de nombre 1. Simplifier d'abord la fraction si c'est possible : 9/12 = 3/4. 2. Si le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un entier : 56/8 = 7. 3. Sinon, chercher par quel nombre multiplier le dénominateur pour obtenir 10, 100 ou 1\,000 : 4 25 = 100, donc 3/4 = 75/100 = 0,75 est décimal. 4. Si l'on n'y parvient pas, poser la division : dès qu'un reste déjà obtenu revient, la division ne s'arrêtera jamais et le nombre est non décimal. Pour 5 6 = 0,833, le reste 2 revient sans cesse. 3. Valeur exacte et valeurs arrondies Un non-décimal ne s'écrit exactement que sous forme de fraction. Pour mesurer ou comparer, on utilise une valeur arrondie, comme pour les décimaux : 1/3 = 0,333 : arrondi à l'unité 0, au dixième 0,3, au centième 0,33 ; 2/3 = 0,666 : arrondi à l'unité 1, au dixième 0,7, au centième 0,67 ; = 3,141\,59, le nombre par lequel on multiplie le diamètre d'un cercle pour obtenir sa longueur : arrondi à l'unité 3, au dixième 3,1, au centième 3,14. On admet que n'est pas un nombre décimal. La fraction 22/7 = 3,142\,857 en est une bonne valeur approchée, mais elle n'est pas égale à : les deux nombres diffèrent dès le chiffre des millièmes. 4. Attention Le dénominateur seul ne suffit pas pour conclure : 6/15 a un dénominateur dans la table de 3, et pourtant 6/15 = 2/5 = 0,4 est décimal. Il faut simplifier avant de décider. Un arrondi n'est pas la valeur exacte : on écrit 1/3 0,33 ou 3,14, avec le signe , et jamais avec le signe =.

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