Partager un segment en parts égales avec un guide-âne — 6ème

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Un guide-âne est un ensemble de droites parallèles régulièrement espacées. • Si A est sur une droite du guide-âne et B sur la n^e droite suivante, les droites intermédiaires partagent [AB] en n segments de même longueur. • On s'en sert quand une part ne se mesure pas à la règle : 8 cm en 3 parts donnent des parts de 8/3 cm. • Partager l'unité [OI] en b parts égales gradue la demi-droite en 1/b.

Le cours

1. Quand la règle ne suffit pas Pour partager un segment de 12 cm en 4 parts égales, il suffit de calculer 12 4 = 3 et de mesurer des morceaux de 3 cm. Mais pour partager un segment de 8 cm en 3 parts égales, chaque part mesure 8/3 cm, soit 2,666 cm : cette longueur ne se lit pas exactement sur la règle graduée. On utilise alors un guide-âne. Un guide-âne est un ensemble de droites parallèles régulièrement espacées : les lignes d'une feuille de cahier, ou des droites tracées sur un papier calque. On admet la propriété suivante : si A est sur une droite du guide-âne et B sur la n^e droite suivante, les droites intermédiaires partagent [AB] en n segments de même longueur. 012345AB Sur la figure, B est sur la 5^e droite après celle de A : les quatre points verts partagent [AB] en 5 parts égales. 2. Méthode avec un guide-âne 1. Compter le nombre n de parts voulues. 2. Poser le guide-âne sur le segment de façon que A soit sur une droite, que l'on numérote 0. 3. Faire tourner le guide-âne autour de A jusqu'à ce que B se trouve exactement sur la droite numéro n. 4. Marquer les points où les droites numéros 1, 2, …, n - 1 coupent [AB] : on obtient les n parts égales. 3. Sur papier blanc, avec la règle, le compas et l'équerre 1. Tracer une demi-droite [Ax) d'origine A, qui ne porte pas le segment [AB]. 2. Reporter au compas, à partir de A, n longueurs égales sur [Ax) (par exemple 1 cm chacune) : on obtient les points A_1, A_2, …, A_n. 3. Tracer la droite (A_nB). 4. Tracer les parallèles à (A_nB) passant par A_1, A_2, …, A_n-1 : elles coupent [AB] en n parts égales. Elles jouent le rôle des droites du guide-âne. 4. Graduer une unité en fractions Sur une demi-droite graduée d'origine O, si le point I d'abscisse 1 est à 8 cm de O, partager [OI] en 3 parts égales au guide-âne gradue l'unité en tiers : les points de partage ont pour abscisses 1/3 et 2/3. Le point d'abscisse 2/3 est ainsi placé précisément, alors que sa distance à O, 16/3 cm, ne se mesure pas exactement à la règle. 5. Attention On compte les intervalles entre les droites, pas les droites : pour 5 parts, B doit être sur la 5^e droite après celle de A, soit la 6^e si l'on compte aussi celle de A. Le segment doit être assez long : avec des droites espacées de 8 mm, il faut un segment d'au moins 5 8 = 40 mm pour franchir 5 intervalles. Sinon, on prend un guide-âne aux droites plus serrées.

Dans ce chapitre