Périmètre du disque proportionnel au diamètre : le coefficient π — 6ème

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Le périmètre d'un disque est proportionnel à son diamètre, avec le coefficient 3,14. • Si le diamètre est multiplié par 2, 3 ou 10, le périmètre est multiplié par le même nombre. • Sans calculatrice : 3 d < périmètre < 4 d. • Diamètre à partir du périmètre : d = périmètre .

Le cours

1. Une expérience de mesure Avec une ficelle, on mesure le tour de plusieurs objets ronds, puis leur diamètre. On calcule à chaque fois le quotient du tour par le diamètre, arrondi au centième : ObjetDiamètreTourTour ÷ diamètre couvercle10\ cm31,5\ cm3,15horloge30\ cm94\ cm3,13tambour40\ cm125,6\ cm3,14 Le quotient est presque le même pour tous les objets, un peu plus de 3 : les petites différences viennent de l'imprécision des mesures. 2. Proportionnalité et nombre π Le périmètre d'un disque (la longueur du cercle qui le borde) est proportionnel à son diamètre. Le coefficient de proportionnalité est le nombre , qui se lit « pi » : périmètre = diamètre Le nombre n'est pas un nombre décimal : on utilise la valeur approchée 3,14 ou la touche de la calculatrice. Comme dans tout tableau de proportionnalité, si le diamètre est multiplié par 2, 3 ou 10, le périmètre l'est aussi, et le périmètre pour une somme de diamètres est la somme des périmètres. 3. Encadrer le périmètre sans calculatrice 1. Dans un cercle de rayon R, on reporte 6 fois le rayon au compas : on obtient un hexagone de périmètre 6 R = 3 d. Entre deux sommets voisins, l'arc de cercle est plus long que le côté de l'hexagone, qui va tout droit : le cercle est donc plus long que l'hexagone. 2. Le carré de côté d qui entoure le cercle a pour périmètre 4 d : le cercle, enfermé à l'intérieur, est plus court. 3. Donc 3 d 4. Retrouver le diamètre : on divise le périmètre par le coefficient, d = périmètre , puis R = d 2. Attention Proportionnel ne veut pas dire « augmente de la même quantité » : quand le diamètre augmente de 10\ cm, le périmètre augmente d'environ 31,4\ cm, et non de 10\ cm. Pour retrouver le diamètre à partir du périmètre, on divise par : multiplier par donnerait un diamètre plus grand que le tour lui-même, ce qui est absurde.

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