Propriété caractéristique de la médiatrice : points équidistants des extrémités — 6ème

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB. • Si MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB]. • La médiatrice de [AB] est l'ensemble de tous les points équidistants de A et de B. • Deux points distincts équidistants de A et de B suffisent pour tracer la médiatrice de [AB].

Le cours

1. La propriété caractéristique Un point est équidistant de A et de B lorsqu'il est à la même distance de A et de B. La médiatrice de [AB] vérifie deux propriétés qui vont ensemble : propriété directe : si un point M est sur la médiatrice de [AB], alors MA = MB ; propriété réciproque : si un point M vérifie MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB]. La médiatrice de [AB] contient donc tous les points équidistants de A et de B, et aucun autre point : c'est pour cela que l'on parle de propriété caractéristique. M est sur la médiatrice de [AB] exactement lorsque MA = MB 2. Trois usages dans les problèmes 1. Calculer une longueur : M est sur la médiatrice de [AB] et MA = 4,3\ cm, donc MB = 4,3\ cm (propriété directe). 2. Démontrer qu'un point est sur la médiatrice : on établit MA = MB à partir des données (énoncé, codage), puis on cite la propriété réciproque. 3. Tracer la médiatrice sans équerre : il suffit de deux points distincts équidistants de A et de B, puisque par deux points ne passe qu'une droite. Ces deux points peuvent venir de deux écartements de compas différents, par exemple P avec PA = PB = 4\ cm et Q avec QA = QB = 5\ cm, même s'ils sont du même côté de [AB] (chaque écartement doit dépasser la moitié de AB). 3. De quel côté de la médiatrice ? Un point qui n'est pas sur la médiatrice de [AB] n'est pas équidistant : il est plus près de A s'il est du même côté que A, plus près de B s'il est du même côté que B. La médiatrice partage ainsi le plan en deux régions : celle des points plus proches de A et celle des points plus proches de B. 4. Attention Équidistant ne veut pas dire milieu : il existe une infinité de points équidistants de A et de B, mais un seul d'entre eux est sur le segment [AB], c'est son milieu. Pour démontrer, on s'appuie sur les données de l'énoncé ou du codage, pas sur des mesures prises sur un dessin, qui peuvent être imprécises de quelques millimètres.

Dans ce chapitre

• Utilisation de la règle et de l'équerre de CM2
• Décrire une figure avec le vocabulaire géométrique de CM2
• Reproduire une figure sur quadrillage en comptant les carreaux de CM2
• Point, droite (AB), demi-droite [AB), segment [AB] et longueur AB
• Appartenance, alignement de points et milieu d'un segment
• Droites sécantes, point d'intersection et droites concourantes — 6ème
• Droites perpendiculaires et parallèles : tracés à la règle et à l'équerre
• Tracer des parallèles et des perpendiculaires sur quadrillage, même en biais — 6ème
• Coder une figure : figure à main levée et figure en vraie grandeur — 6ème
• Propriétés fondamentales des droites perpendiculaires et parallèles
• Médiatrice d'un segment : définition géométrique et construction
• Propriété caractéristique de la médiatrice : points équidistants des extrémités — 6ème
• Construire le milieu d'un segment : règle graduée, quadrillage ou compas — 6ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les droites, segments et constructions