Symétrique d'une droite parallèle, perpendiculaire ou sécante à l'axe

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Le symétrique d'une droite est une droite : deux points suffisent pour la tracer. • (D) parallèle à l'axe : (D') est parallèle à l'axe, à la même distance, de l'autre côté. • (D) perpendiculaire à l'axe : (D') = (D), mais seul le point situé sur l'axe est son propre symétrique. • (D) sécante à l'axe en I : (D') passe par I et fait le même angle avec l'axe.

Le cours

1. Une droite a pour symétrique une droite La symétrie axiale conserve l'alignement : le symétrique d'une droite (D) par rapport à l'axe (d) est une droite, notée (D'). Pour la tracer, il suffit d'en connaître deux points. Le résultat dépend de la position de (D) par rapport à l'axe. (D) parallèle à (d) : (D') est aussi parallèle à (d), de l'autre côté de l'axe. Si un point M de (D) est à 2\ cm de (d), mesurés sur la perpendiculaire à (d) passant par M, alors (D') est elle aussi à 2\ cm de l'axe : l'écart entre (D) et (D') vaut 4\ cm et l'axe passe exactement au milieu. (D) perpendiculaire à (d) : la perpendiculaire à (d) qui passe par un point de (D) est (D) elle-même, donc le symétrique de chaque point de (D) reste sur (D). Ainsi (D') = (D) : la droite est sa propre symétrique. Pourtant, ses points changent de place, sauf le point où elle coupe l'axe. (D) sécante à (d) en I, sans lui être perpendiculaire : I est sur l'axe, il est son propre symétrique, donc (D') passe aussi par I. Les angles sont conservés : (D) et (D') font avec l'axe le même angle, de part et d'autre. (D) confondue avec (d) : chaque point de l'axe est son propre symétrique, donc (D') = (D) point par point. (d) (d) (d) (D) (D′) parallèle (D) = (D′) M M′ K perpendiculaire I (D) (D′) sécante De gauche à droite : droite parallèle à l'axe ; droite perpendiculaire à l'axe, sa propre symétrique, alors que M et M' sont distincts ; droite sécante en I, dont la symétrique se coupe avec elle sur l'axe. 2. Méthode de construction 1. Repérer la position de (D) par rapport à (d). 2. Parallèle : construire le symétrique M' d'un point M de (D), puis tracer la parallèle à (d) qui passe par M' (ou construire les symétriques de deux points). 3. Perpendiculaire : rien à tracer, (D') est (D). 4. Sécante en I : construire le symétrique M' d'un seul point M de (D), choisi loin de I, puis tracer la droite (IM'). 3. Attention Ne confonds pas « la droite est sa propre symétrique » et « chaque point est son propre symétrique ». Pour une droite perpendiculaire à l'axe en K, un point P situé à 3\ cm de K a pour symétrique un point P' de la même droite, à 3\ cm de K de l'autre côté : P et P' sont distincts, seul K est fixe. 4. Bon réflexe Pour une droite sécante, choisis le point M loin de I : plus I et M' sont écartés, plus le tracé de (IM') à la règle est précis.

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