Compléter un triangle par son symétrique par rapport à l'un de ses côtés

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Symétrique de ABC par rapport à (BC) : B et C sont fixes, BA' = BA et CA' = CA. • Triangle rectangle en A et axe (AB) : on obtient le triangle BCC', isocèle en B, et A est le milieu de [CC']. • Triangle isocèle en A et axe (BC) : ABA'C est un losange ; si le triangle est aussi rectangle en A, c'est un carré. • L'aire double ; le côté porté par l'axe ne compte pas dans le périmètre.

Le cours

1. Un triangle et son symétrique forment une nouvelle figure On trace le symétrique d'un triangle ABC par rapport à la droite qui porte l'un de ses côtés, par exemple (BC). Les sommets B et C sont sur l'axe : ils ne bougent pas. Seul A a un symétrique A' distinct, et la figure formée par les deux triangles admet (BC) comme axe de symétrie. Les propriétés de conservation donnent sa nature sans rien mesurer. Cas général : BA' = BA et CA' = CA. Le quadrilatère ABA'C a deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Triangle rectangle en A, axe (AB), qui porte un côté de l'angle droit : C' est sur la droite (AC), de l'autre côté de A, et A est le milieu de [CC']. On obtient le triangle BCC', isocèle en B, car BC' = BC. Triangle isocèle en A, axe (BC) : AB = AC = A'B = A'C, donc le quadrilatère ABA'C a quatre côtés de même longueur : c'est un losange. Triangle rectangle et isocèle en A, axe (BC) : les angles en B et en C mesurent 45^, donc ABA'C a quatre côtés égaux et quatre angles droits (45^ + 45^ = 90^ en B et en C) : c'est un carré. Aire et périmètre : l'aire de la figure est le double de celle du triangle ; dans le périmètre, on ne compte pas le côté porté par l'axe, qui se retrouve à l'intérieur. (AB) A B C C′ Le triangle ABC, rectangle en A, et son symétrique par rapport à (AB) : C, A et C' sont alignés et BC' = BC. Ensemble, ils forment le triangle BCC', isocèle en B. 2. Méthode 1. Repérer le côté qui porte l'axe : ses deux extrémités sont fixes. 2. Construire le symétrique du troisième sommet. 3. Écrire les égalités de longueurs et d'angles données par la symétrie. 4. En déduire la nature de la figure (triangle isocèle, losange, carré…), puis calculer son périmètre et son aire. 3. Attention Ne compte pas le côté porté par l'axe dans le périmètre de la nouvelle figure. Pour le triangle BCC' de la figure, le côté [AB] est à l'intérieur : le contour est formé de [BC], [CC'] et [C'B]. 4. Bon réflexe Avant de nommer la figure obtenue, écris les longueurs de tous les côtés de son contour : ce sont elles, avec les angles, qui décident de sa nature.

Dans ce chapitre

• Repérage d'un axe de symétrie par pliage et superposition de CM2
• Compléter une figure sur quadrillage avec un axe vertical ou horizontal de CM1
• Symétrique d'une figure par rapport à une diagonale du quadrillage de CM2
• Définition de la symétrie axiale et symétrique d'un point
• Construction du symétrique sur quadrillage et sur papier blanc
• Propriétés de conservation de la symétrie (longueurs, angles, aires)
• Symétrique d'une droite parallèle, perpendiculaire ou sécante à l'axe
• Symétrique d'une figure composée de segments et d'arcs de cercle
• Symétrique d'une figure à cheval sur l'axe : points fixes et partie commune
• Axes de symétrie des figures usuelles
• Pliages et découpages : prévoir une figure à un ou deux axes de symétrie
• Compléter un triangle par son symétrique par rapport à l'un de ses côtés
• Retrouver l'axe de symétrie qui échange une figure et son symétrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie axiale