Symétrique d'une figure composée de segments et d'arcs de cercle

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Une figure composée se reconstruit à partir de ses points clés : extrémités, sommets, centres. • Segment : symétriques des deux extrémités ; cercle : symétrique du centre et même rayon. • Arc : centre, extrémités et un point du milieu de l'arc pour savoir de quel côté le tracer. • Les raccords et les dimensions sont conservés ; la figure obtenue est retournée.

Le cours

1. Construire seulement les points utiles Une figure composée (logo, motif, plan) mélange des segments, des cercles et des arcs de cercle. Inutile de construire le symétrique de tous ses points : grâce aux propriétés de conservation, quelques points clés suffisent, puis on trace à la règle et au compas. Segment [AB] : on construit A' et B', puis on trace [A'B'], qui a la même longueur que [AB]. Cercle de centre O : on construit seulement O', puis on trace le cercle de centre O' avec le même écartement de compas. Arc de cercle : on construit le centre et les deux extrémités. Entre deux extrémités, deux arcs de même centre sont possibles : le symétrique d'un point situé au milieu de l'arc indique lequel tracer. Raccords : si un arc et un segment se rejoignent en un point E, leurs symétriques se rejoignent en E'. La figure obtenue a la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est retournée. (d) A B O A′ B′ O′ M M′ La figure est formée du segment [AB] et d'un demi-cercle de centre O. Son symétrique se construit avec A', B' et O' ; le point M' indique de quel côté tracer l'arc : l'arc bombé vers la droite devient un arc bombé vers la gauche. 2. Méthode 1. Décomposer la figure : lister ses segments, ses cercles et ses arcs. 2. Noter les points clés : extrémités, sommets, centres, et un point au milieu de chaque arc. 3. Construire le symétrique de chaque point clé, à l'équerre et au compas. 4. Tracer les segments à la règle, puis les cercles et les arcs au compas, en gardant leur rayon. 5. Contrôler : longueurs et rayons identiques, raccords aux mêmes endroits, figure retournée. 3. Attention Garder pour l'arc symétrique le même sens d'ouverture que l'arc de départ est une erreur fréquente. Avec un axe vertical, un arc bombé vers la droite devient un arc bombé vers la gauche : construire le symétrique d'un point du milieu de l'arc évite de se tromper. 4. Bon réflexe Un cercle ne demande qu'un seul point construit : son centre. Garde le même écartement de compas du début à la fin du tracé pour ne pas changer le rayon.

Dans ce chapitre

• Repérage d'un axe de symétrie par pliage et superposition de CM2
• Compléter une figure sur quadrillage avec un axe vertical ou horizontal de CM1
• Symétrique d'une figure par rapport à une diagonale du quadrillage de CM2
• Définition de la symétrie axiale et symétrique d'un point
• Construction du symétrique sur quadrillage et sur papier blanc
• Propriétés de conservation de la symétrie (longueurs, angles, aires)
• Symétrique d'une droite parallèle, perpendiculaire ou sécante à l'axe
• Symétrique d'une figure composée de segments et d'arcs de cercle
• Symétrique d'une figure à cheval sur l'axe : points fixes et partie commune
• Axes de symétrie des figures usuelles
• Pliages et découpages : prévoir une figure à un ou deux axes de symétrie
• Compléter un triangle par son symétrique par rapport à l'un de ses côtés
• Retrouver l'axe de symétrie qui échange une figure et son symétrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie axiale