Construire un rectangle, un losange ou un carré à partir de ses diagonales

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Rectangle : diagonales de même longueur et de même milieu. • Losange : diagonales perpendiculaires et de même milieu. • Carré : diagonales perpendiculaires, de même longueur et de même milieu. • Tracer deux diamètres d'un cercle donne toujours les sommets d'un rectangle ; s'ils sont perpendiculaires, on obtient un carré.

Le cours

1. Propriétés caractéristiques des diagonales des quadrilatères particuliers Les parallélogrammes particuliers se distinguent immédiatement par la disposition et les propriétés de leurs diagonales : • Rectangle : Diagonales de même milieu ET de même longueur (AC = BD). • Losange : Diagonales de même milieu ET perpendiculaires ((AC) (BD)). • Carré : Diagonales de même milieu, de même longueur ET perpendiculaires. 2. Protocoles de tracé géométrique Ces propriétés permettent des tracés rapides et d'une grande précision à la règle, à l'équerre et au compas : • Pour un losange : Tracer deux droites perpendiculaires se coupant en O. Avec le compas, reporter de part et d'autre de O la demi-longueur de la première diagonale pour obtenir deux sommets opposés, puis la demi-longueur de la seconde diagonale sur l'autre droite pour obtenir les deux autres sommets. • Pour un rectangle : Tracer un cercle de centre O et de diamètre égal à la longueur des diagonales voulue. Tracer deux diamètres quelconques distincts [AC] et [BD]. Les quatre extrémités forment obligatoirement un rectangle car OA = OB = OC = OD. • Pour un carré : Même méthode que le rectangle, mais en choisissant deux diamètres rigoureusement perpendiculaires tracés à l'équerre. 3. Erreur fréquente Attention à ne pas oublier la condition du milieu commun. Deux segments de même longueur perpendiculaires ne forment pas un carré si l'un ne coupe pas l'autre en son milieu : ils formeraient un cerf-volant ou un quadrilatère quelconque. La condition de base reste toujours que les diagonales aient le même milieu.

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