Propriétés de conservation de la symétrie centrale (longueurs, angles, aires)

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires. • Une figure et son symétrique ont le même périmètre et la même aire. • Une droite et son image sont parallèles. • Rédaction : « Or la symétrie centrale conserve … donc … ».

Le cours

Ce que le demi-tour ne change pas Un demi-tour déplace une figure sans la déformer : la figure et son image sont superposables. La symétrie centrale conserve donc toutes les mesures de la figure. Propriétés de conservation Longueurs : si A' et B' sont les symétriques de A et B, alors A'B' = AB. Les périmètres sont donc conservés. Alignement : des points alignés ont des symétriques alignés, dans le même ordre ; le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image. Angles : un angle et son symétrique ont la même mesure ; en particulier, deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires. Parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles ; de plus, chaque droite est parallèle à son image. Aires : une figure et sa symétrique ont la même aire. Méthode : rédiger une justification 1. Nommer la symétrie et les points images : « A', B', C' sont les symétriques de A, B, C par rapport à O. » 2. Citer la propriété utilisée : « Or la symétrie centrale conserve les longueurs. » 3. Conclure sur la figure image : « Donc A'B' = AB = 4 cm. » Superposer sans retourner Deux figures symétriques par rapport à un point se superposent en faisant tourner un calque d'un demi-tour, sans le retourner. Une lettre F tracée sur la figure apparaît « tête en bas » mais reste lisible. Avec une symétrie axiale, il faut retourner le calque, et la lettre apparaît comme dans un miroir. Attention Ce qui double, ce n'est pas la figure : c'est la distance entre un point et son image, AA' = 2 OA. Les côtés, les angles et l'aire de la figure image restent identiques à ceux de la figure de départ.

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