Le parallélogramme : définition, centre de symétrie et propriétés des côtés et angles

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Parallélogramme : quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. • Son centre de symétrie est le point d'intersection de ses diagonales. • Côtés opposés de même longueur ; angles opposés de même mesure. • Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut 180^.

Le cours

Le parallélogramme Le parallélogramme est le quadrilatère de la symétrie centrale : il a un centre de symétrie, et ses propriétés sur les côtés et les angles en découlent. Définition et centre de symétrie Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : pour ABCD, (AB) (DC) et (AD) (BC). On nomme les sommets dans l'ordre du tour de la figure : dans ABCD, les côtés [AB] et [DC] sont opposés, les côtés [AB] et [BC] sont consécutifs. Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point O d'intersection de ses diagonales. La symétrie de centre O échange A et C, ainsi que B et D. Propriétés des côtés et des angles La symétrie de centre O envoie [AB] sur [CD] et DAB sur BCD ; comme elle conserve les longueurs et les angles : les côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ; le périmètre vaut 2 (AB + BC) ; les angles opposés ont la même mesure : A = C et B = D ; deux angles consécutifs sont supplémentaires : A + B = 180^. En effet, une diagonale partage le quadrilatère en deux triangles, donc ses quatre angles totalisent 360^, et 2 A + 2 B = 360^. Par exemple, si A = 70^, alors C = 70^ et B = D = 180^ - 70^ = 110^. Reconnaître un parallélogramme par ses côtés Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Attention Dans un parallélogramme quelconque, deux côtés consécutifs n'ont pas la même longueur, et deux angles consécutifs ne sont pas égaux : ils sont supplémentaires. Si deux angles consécutifs étaient égaux, chacun mesurerait 90^ et le parallélogramme serait un rectangle.

Dans ce chapitre

• Symétrie axiale et quadrilatères usuels de 6ème
• Symétrie axiale et milieu d'un segment de 6ème
• Droites parallèles et perpendiculaires : propriétés et tracés de 6ème
• Définition de la symétrie centrale : demi-tour autour d'un point O
• Construction du symétrique d'un point, segment, droite, angle et cercle
• Propriétés de conservation de la symétrie centrale (longueurs, angles, aires)
• Le parallélogramme : définition, centre de symétrie et propriétés des côtés et angles
• Propriétés des diagonales d'un parallélogramme (se coupent en leur milieu)
• Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré (diagonales)
• Centre de symétrie d'une figure et figures usuelles
• Construire un parallélogramme à la règle et au compas
• Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
• Construire un rectangle, un losange ou un carré à partir de ses diagonales
• Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie centrale et les parallélogrammes