Propriétés des diagonales d'un parallélogramme (se coupent en leur milieu)

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. • Réciproque : un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. • Ce milieu commun est le centre de symétrie du parallélogramme. • OA = OC = AC/2 et OB = OD = BD/2.

Le cours

Les diagonales du parallélogramme Les diagonales d'un quadrilatère joignent deux sommets non consécutifs. Pour le parallélogramme, leur propriété est la plus utile du chapitre, et elle s'emploie dans les deux sens. Propriété et réciproque OABCD Propriété : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Dans ABCD de centre O : OA = OC = AC/2 et OB = OD = BD/2. Pourquoi ? O est le centre de symétrie : C est le symétrique de A, donc O est le milieu de [AC] ; de même, O est le milieu de [BD]. Réciproque : si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. En effet, la symétrie de centre O échange alors A et C, B et D : la droite (AB) a pour image (CD), qui lui est parallèle, et de même (AD) (BC). Méthode : démontrer par les diagonales 1. Nommer les diagonales : ce sont les segments qui joignent deux sommets non consécutifs, [AC] et [BD] pour ABCD. 2. Prouver que leur point commun est le milieu de chacune, avec des longueurs, un codage ou une symétrie. 3. Rédiger : « Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu O. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. » Construire le quatrième sommet Pour placer D tel que ABCD soit un parallélogramme, on construit le milieu O de [AC], puis le symétrique de B par rapport à O. Attention Les diagonales d'un parallélogramme quelconque n'ont ni la même longueur ni des directions perpendiculaires. Et l'ordre des lettres compte : si les diagonales sont [AD] et [BC], le parallélogramme se nomme ABDC, et non ABCD.

Dans ce chapitre

• Symétrie axiale et quadrilatères usuels de 6ème
• Symétrie axiale et milieu d'un segment de 6ème
• Droites parallèles et perpendiculaires : propriétés et tracés de 6ème
• Définition de la symétrie centrale : demi-tour autour d'un point O
• Construction du symétrique d'un point, segment, droite, angle et cercle
• Propriétés de conservation de la symétrie centrale (longueurs, angles, aires)
• Le parallélogramme : définition, centre de symétrie et propriétés des côtés et angles
• Propriétés des diagonales d'un parallélogramme (se coupent en leur milieu)
• Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré (diagonales)
• Centre de symétrie d'une figure et figures usuelles
• Construire un parallélogramme à la règle et au compas
• Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
• Construire un rectangle, un losange ou un carré à partir de ses diagonales
• Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie centrale et les parallélogrammes