Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie centrale et les parallélogrammes

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Symétrie de centre O : O est le milieu de [AA'] ; longueurs, angles, alignement, parallélisme et aires sont conservés. • Parallélogramme : son centre de symétrie est l'intersection de ses diagonales, qui se coupent en leur milieu. • Côtés opposés égaux, angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires. • Diagonales de même longueur : rectangle ; perpendiculaires : losange ; les deux : carré.

Le cours

Bilan du chapitre Ce bilan relie les deux parties du chapitre : la symétrie centrale, où le centre est un milieu, et le parallélogramme, figure qui possède un centre de symétrie. 1. La symétrie centrale A' est le symétrique de A par rapport à O lorsque O est le milieu de [AA'] ; le centre O est le seul point invariant. Constructions : on construit les symétriques des points utiles ; une droite a pour image une droite parallèle, un cercle a pour image un cercle de même rayon centré au symétrique du centre. Elle conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires. 2. Le parallélogramme Définition : quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; son centre de symétrie est le point d'intersection de ses diagonales. Propriétés : côtés opposés de même longueur, angles opposés de même mesure, angles consécutifs supplémentaires, diagonales qui se coupent en leur milieu. 3. Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme 1. Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (définition). 2. Ses diagonales se coupent en leur milieu. 3. Il est non croisé et ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux. 4. Il est non croisé et deux de ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. 4. Tableau des diagonales Parallélogramme : diagonales de même milieu. Rectangle : même milieu et même longueur. Losange : même milieu et perpendiculaires. Carré : même milieu, même longueur et perpendiculaires. Pièges fréquents en devoir Confondre le milieu d'un segment (un point) et sa médiatrice (une droite), ou le centre d'une symétrie centrale et l'axe d'une symétrie axiale. Conclure « rectangle » ou « losange » sans avoir d'abord prouvé que la figure est un parallélogramme. Oublier de citer la propriété utilisée : on rédige en trois temps, « On sait que… Or… Donc… ».

Dans ce chapitre

• Symétrie axiale et quadrilatères usuels de 6ème
• Symétrie axiale et milieu d'un segment de 6ème
• Droites parallèles et perpendiculaires : propriétés et tracés de 6ème
• Définition de la symétrie centrale : demi-tour autour d'un point O
• Construction du symétrique d'un point, segment, droite, angle et cercle
• Propriétés de conservation de la symétrie centrale (longueurs, angles, aires)
• Le parallélogramme : définition, centre de symétrie et propriétés des côtés et angles
• Propriétés des diagonales d'un parallélogramme (se coupent en leur milieu)
• Parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré (diagonales)
• Centre de symétrie d'une figure et figures usuelles
• Construire un parallélogramme à la règle et au compas
• Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
• Construire un rectangle, un losange ou un carré à partir de ses diagonales
• Bilan : Synthèse et méthode sur la symétrie centrale et les parallélogrammes