Tracer et repérer la hauteur relative à une base dans un triangle

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• La hauteur relative à une base passe par le sommet opposé et est perpendiculaire à cette base. • Dans un triangle acutangle, les hauteurs sont intérieures. • Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont deux hauteurs. • Dans un triangle obtusangle, deux hauteurs sont extérieures et nécessitent de prolonger la base.

Le cours

1. Les trois hauteurs d'un triangle Dans tout triangle ABC, il existe trois bases possibles et donc trois hauteurs correspondantes. La hauteur relative à une base est la droite qui passe par le sommet opposé et qui est perpendiculaire à la droite portant cette base. Le segment de hauteur relie ce sommet au pied de la hauteur sur la droite de base. Base [BC] Hauteur issue de A perpendiculaire à (BC). Base [AC] Hauteur issue de B perpendiculaire à (AC). Base [AB] Hauteur issue de C perpendiculaire à (AB). 2. Les trois configurations selon la forme du triangle La position du pied de la hauteur dépend des angles du triangle : • Triangle à trois angles aigus (acutangle) : Le pied de la hauteur se trouve à l'intérieur du segment de base. • Triangle rectangle : Les deux côtés de l'angle droit sont déjà les hauteurs l'un de l'autre ! Seule la hauteur relative à l'hypoténuse est à l'intérieur. • Triangle ayant un angle obtus (obtusangle) : La hauteur relative à un côté adjacent à l'angle obtus tombe à l'extérieur du triangle. Il est indispensable de prolonger la base en pointillés pour tracer la perpendiculaire. Les trois droites portant les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre du triangle. 3. Piège fréquent lors du tracé extérieur Quand un triangle possède un angle obtus, beaucoup d'élèves tentent d'abaisser la hauteur sur le segment intérieur en renonçant à l'angle droit. Une hauteur est TOUJOURS perpendiculaire à la base : si le pied ne touche pas le segment, on prolonge la droite support de la base sans hésiter.

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