Aire du triangle : formule A = (b x h) / 2 et choix de la hauteur

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Aire d'un triangle : A = b h/2, où h est la hauteur relative à la base b (perpendiculaire à b). • Un triangle a trois couples (base ; hauteur) : tous donnent la même aire. • Si l'angle est obtus, la hauteur peut tomber à l'extérieur du triangle : la formule reste la même. • Longueur manquante : b = 2 Ah et h = 2 Ab.

Le cours

1. Base et hauteur relative Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est le segment qui part de ce sommet et qui est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Ce côté opposé est la base associée à cette hauteur. Un triangle a trois hauteurs, donc trois couples (base ; hauteur) possibles. Dans un triangle rectangle, chacun des deux côtés de l'angle droit est la hauteur relative à l'autre. Si un angle est obtus, les hauteurs issues des deux autres sommets tombent à l'extérieur du triangle, sur le prolongement de la base. h base b A B C h base b A B C H 2. La formule A = b h/2 = base hauteur relative2 Pourquoi diviser par 2 ? Deux exemplaires du même triangle, l'un retourné, s'assemblent toujours en un parallélogramme de base b et de hauteur h, dont l'aire vaut b h. Le triangle en est la moitié. La formule est valable pour tous les triangles, que la hauteur tombe à l'intérieur ou à l'extérieur. Exemple : une base de 11\ cm et une hauteur de 6\ cm donnent A = 11 6/2 = 66/2 = 33\ cm^2. 3. Méthode et longueur manquante 1. Choisis un côté comme base b. 2. Repère la hauteur perpendiculaire à cette base (codage d'angle droit), issue du sommet opposé. 3. Vérifie que b et h sont dans la même unité, calcule b h, puis divise par 2. 4. Pour retrouver une longueur, double l'aire : b h = 2 A. Un triangle d'aire 35\ cm^2 et de hauteur 7\ cm a une base de 70 7 = 10\ cm. 4. Même base, même hauteur, même aire Deux triangles qui ont des bases de même longueur et la même hauteur ont la même aire, même si leurs formes sont différentes. Par exemple, le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé partage le triangle en deux triangles de même aire : leurs bases sont égales et leur hauteur est commune. 5. Attention Dans un triangle sans angle droit, aucun côté n'est une hauteur : il faut la tracer ou la lire sur la figure grâce au codage de l'angle droit. Et ne t'arrête pas à b h : sans la division par 2, tu obtiens l'aire du parallélogramme, le double de celle du triangle.

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