Aire du losange et du trapèze par décomposition

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Aire du losange de diagonales D et d : A = D d/2. • Aire du trapèze de bases B et b et de hauteur h : A = (B + b) h/2. • Les diagonales du losange le partagent en 4 triangles rectangles identiques. • Toujours vérifier que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.

Le cours

1. Aire du losange par ses diagonales Un losange possède des diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu. En traçant un rectangle circonscrit qui encadre le losange, on constate que le losange occupe exactement la moitié de ce rectangle. Soit D la longueur de la grande diagonale et d la longueur de la petite diagonale : A_losange = D d/2 On peut également retrouver cette formule en observant que les diagonales découpent le losange en 4 triangles rectangles identiques d'aire D/2 d/22 = D d/8, dont la somme fait D d/2. 2. Aire du trapèze par assemblage ou découpage Un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles appelés la grande base B et la petite base b. La distance perpendiculaire entre ces deux bases est la hauteur h. En assemblant deux trapèzes identiques tête-bêche, on forme un parallélogramme de base (B + b) et de hauteur h. L'aire d'un seul trapèze est la moitié de cette surface : A_trapèze = (B + b) h/2 On peut aussi décomposer le trapèze en un rectangle central de dimensions b h et deux triangles rectangles latéraux. 3. Piège fréquent Pour le losange, ne multipliez pas la longueur d'un côté par la diagonale : la formule utilise uniquement le produit des deux diagonales divisé par 2. Pour le trapèze, veillez à additionner les deux bases avant de multiplier par la hauteur.

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