Multiplier par -1 et lien avec l'opposé d'un nombre relatif

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Multiplier un nombre par -1 donne son opposé : (-1) a = -a. • Si a est négatif, son opposé -a est positif : (-1) (-8) = +8. • L'opposé d'une parenthèse change le signe de chaque terme : -(x - y) = -x + y.

Le cours

1. Propriété fondamentale du produit par -1 Pour tout nombre relatif a, multiplier par -1 revient exactement à prendre l'opposé de ce nombre : (-1) a = a (-1) = -a Multiplier par -1 change le signe du nombre sans modifier sa distance à zéro. Cette règle s'applique quel que soit le signe de a : • Si a est positif : (-1) 7 = -7. • Si a est négatif : (-1) (-5) = -(-5) = +5. 2. Opposé d'une expression et règle de suppression des parenthèses Le produit par -1 permet de justifier rigoureusement l'opposé d'une somme algébrique à l'aide de la distributivité : -(a + b) = (-1) (a + b) = (-1) a + (-1) b = -a - b -(a - b) = (-1) (a - b) = (-1) a - (-1) b = -a + b = b - a Prendre l'opposé d'une parenthèse précédée du signe « - » revient à multiplier chaque terme intérieur par -1, ce qui inverse tous les signes à l'intérieur. 3. Erreur classique sur l'écriture -a La notation -a ne désigne pas nécessairement un nombre négatif ! Si a = -9, alors -a = -(-9) = +9, qui est un nombre strictement positif. -a représente simplement « l'opposé de a ».

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