Écrire un entier ou une fraction sous la forme d'une puissance a^n ou a^-n

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour écrire un entier sous la forme a^n, on le décompose en facteurs égaux à a : 128 = 2^7. • L'inverse d'une puissance se note avec un exposant négatif : 1/a^n = a^-n, ainsi 1/49 = 7^-2. • Un même nombre peut s'écrire avec plusieurs bases : 16 = 4^2 = 2^4.

Le cours

1. Écrire un nombre entier sous la forme a^n Écrire un nombre entier sous la forme d'une puissance a^n (n 1), c'est le décomposer en un produit de n facteurs tous égaux au même nombre a. Pour y parvenir, on effectue des divisions successives par la base choisie : Exemple avec la base 2 : 32 = 2 2 2 2 2 = 2^5. Exemple avec la base 3 : 81 = 3 3 3 3 = 3^4. Un même nombre entier peut parfois s'écrire sous forme de puissance avec différentes bases. Ainsi, 64 = 8^2 = 4^3 = 2^6. Il faut donc toujours respecter la base imposée par l'énoncé. 2. Écrire une fraction ou un inverse sous la forme a^-n Par définition, pour tout nombre non nul a et tout entier positif n, l'inverse de a^n s'écrit avec un exposant négatif : 1/a^n = a^-n. Lorsque le dénominateur d'une fraction unitaire est une puissance, on peut l'écrire directement sous la forme a^-n : 1/8 = 1/2^3 = 2^-3 et 1/1000 = 1/10^3 = 10^-3 Pour un nombre décimal : 0,04 = 4/100 = 1/25 = 1/5^2 = 5^-2. Cette notation est particulièrement compacte et permet de remplacer les fractions par des puissances à exposants négatifs dans les calculs algébriques. 3. Erreur fréquente Ne confondez jamais une puissance avec un multiple : 27 n'est pas 3^9 mais 3^3, car 3 3 3 = 27 alors que 3 9 = 27 est une multiplication ordinaire. De même, un exposant négatif n'indique pas un nombre négatif : 2^-3 = 1/8 = 0,125 > 0.

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